命題の否定

質問

３つの事象A、X、Yがあり、
「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性が無い」
と仮定した場合に、これを否定する場合の答えは、
「AはXおよびYと関連性がある」とありました。

これは、「AとYとに関連性があれば、AとXに関連性がある」、とした場合や
「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性がある」
とどのように違うのでしょうか？
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.4

i536 · ベストアンサー

#1です、既にtwins-mamaさんの分かりやすい説明がありますので、
これはおまけと思ってください。

(Ｘ⇒Ｙ)≡(～Ｘ∨Ｙ)を説明します。
例として、『100点ならば合格である』を用います。

この論理式(Ｘ⇒Ｙ)に論理変数Ｘ，Ｙのとり得るすべての値の組み合わせを代入して、
この例の論理式の値を求めると、下のようになります。

論理変数Ｘ，Ｙのとり得る値　　(100点⇒合格)での解釈　　　　論理式(Ｘ⇒Ｙ)の値
==============================================================================
100点(T),合格　(T)　　　　　　言ったことは正しい（真）　　　　　　　　　　　T
100点(T),不合格(F)　　　　　　言ったことは嘘である(偽）　　　　　　　 　　　F
100点でない(F),合格(T)　　　　言ったことは嘘ではない（すなわち真である）　　T　
100点でない(F),不合格(F)　　　言ったことは正しい（真）　　　　　　　　　　　T

上のどの組み合わせでも式(Ｘ⇒Ｙ)の値は、(～Ｘ∨Ｙ)と完全に一致します。
したがって、(Ｘ⇒Ｙ)≡(～Ｘ∨Ｙ)です。

>これは暗記してしまうしかないのでしょうか？？

私も論理記号’ならば’の解釈・使用方法には、かなり苦労しました。
結局、記号論理学を学びはじめた頃、私は(Ｘ⇒Ｙ)≡(～Ｘ∨Ｙ)を暗記しました。
学習が進んで、そのうち、【嘘ではない】は【真である】と直ちにすんなりと自然に
受け入れられるようになった段階で、腑に落ちるようになりました。

お礼

＞100点でない(F),合格(T)　　　　言ったことは嘘ではない（すなわち真である）

と言う部分が偽であると言う考えがあったのが理解できなかった原因だと分かりました！
数学はまだまだ自分の知らない領域がたくさんあることを実感しました。
高校の時数学嫌いであまり勉強していなかったんでこれから頑張っていきたいと思います！

本当にご協力ありがとうございましたm(__)m

回答No.3

twins-mama

＞流れは理解する事が出来たのですが、
　＞　X⇒Y ( XならばYである )は、～X∨Y ( Xでな　　い、またはYである )の同値な別表現である
　と言う部分のイメージがなかなかつかむ事が出来ま　せん。

「宝くじで1等が当たれば、100万円あげるよ」
と約束した人が”嘘つき”と言われるのは
　宝くじで1等が当たっても100万円くれないとき
です。だから、
(1)宝くじで1等が当たらない
(2)宝くじで1等が当たっても当たらなくても100万円あげる
場合は嘘つきにはならない。

というイメージで私は理解しています。砕け過ぎですか？？

お礼

ご解答ありがとうございます！

宝くじで一等が当たる⇒100万円あげる
＝　宝くじで一等が当たらない　又は　当たっても当たらなくても100万円あげる

イコールはこの場合嘘にならない場合と考えれば良いのですね。
なんとなくイメージがつかめてきました！

回答No.2

grothendieck

AとXに関連性があるをA～Xと書くことにします。「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性が無い」は
　（A～X)⇒￢（A～Y)=￢（A～X)∨￢(A～Y)
なのでその否定は（A～X)∧(A～Y)となります。一方、
「AとYとに関連性があれば、AとXに関連性がある」は
　（A～Y)⇒（A～X)=￢（A～Y)∨(A～X)
なのでその否定は（A～Y)∧￢(A～X)となります。
「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性がある」は
　（A～X)⇒（A～Y)=￢（A～X)∨(A～Y)
なのでその否定は（A～X)∧￢(A～Y)となります。

お礼

ご解答ありがとうございます！
よろしければ
（A～X)⇒￢（A～Y)=￢（A～X)∨￢(A～Y)
と言う部分についてのイメージがつかめないので
教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

i536

AとBに関連性があることを、F(A,B)で表記するとします。
また、論理記号{⇒,～,∨,∧}を、それぞれ、
{ならば,否定,または,かつ}とします。

'ならば'を含んだ文で、ぜひとも覚えておかなければならないことは、
X⇒Y ( XならばYである )は、～X∨Y ( Xでない、またはYである )
の同値な別表現であるということです。

---
「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性が無い」は、
下記(1)で表現できます。
F(A,X)⇒～F(A,Y)---(1)

式(1)は、次式(2)と同値です。
～F(A,X)∨～F(A,Y)---(2)
式(2)は、
「AとXとに関連性がないか、または、AとYに関連性がない」となります。

式(2)の否定は、式(3)です。
～(～F(A,X)∨～F(A,Y))---(3)
ド・モルガンの法則より、式(3)は式(4)と同値です。
F(A,X)∧F(A,Y)---(4)

式(4)を言葉に直すと、
「AとXに関連性があり、かつ、AとYに関連性がある」
上の文で表現が同じでくどい部分を省略し、
また、’かつ’と’および’は同じ意味なので、
答えであった下記文になります。
「AはXおよびYと関連性がある」
もちろん、下記も正解です。
「AはXかつYに関連性がある」
「AはXとYとに関連性がある」

---
「AとYとに関連性があれば、AとXに関連性がある」
F(A,Y)⇒F(A,X)　
～F(A,Y)∨F(A,X) --- ⇒を∨で表す
F(A,X)∨～F(A,Y) ----交換法則を用いる
最後の式は、
「AとXとに関連性があるか、または、AとYに関連性がない」となります。

「AとXとに関連性があれば、AとYに関連性がある」
F(A,X)⇒F(A,Y)
～F(A,X)∨F(A,Y) --- ⇒を∨で表す
最後の式は、
「AとXとに関連性がないか、または、AとYに関連性がある」となります。

---
∧,∨.～の組み合わせは、交換を無視すると、8種類あります。
いずれも、意味が異なります（もちろん日本語表現も）。
F(A,X)∧F(A,Y)
～F(A,X)∧F(A,Y)
F(A,X)∧～F(A,Y)
～F(A,X)∧～F(A,Y)
F(A,X)∨F(A,Y)
～F(A,X)∨F(A,Y)
F(A,X)∨～F(A,Y)
～F(A,X)∨～F(A,Y)

お礼

丁寧にご解答いただき本当にありがとうございました！

流れは理解する事が出来たのですが、
＞　X⇒Y ( XならばYである )は、～X∨Y ( Xでない、またはYである )の同値な別表現である
と言う部分のイメージがなかなかつかむ事が出来ません。これは暗記してしまうしかないのでしょうか？？

補足

例えば
100点⇒合格　＝　100点でない又は、合格である。
は、同じ事を言っているように見えないのですが、同じであると言う事でしょうか？