命題の記述について

質問

(∃x∈R)(∀y∈R)(x≦y)
この命題が真偽であるかについてですが、例えばx=y-1としてやれば真になると考えたのですが、解答は偽でした。
しかしよくよく考えてみると、これが真ならば否定の(∀x∈R)(∃y∈R)(x>y)も同じように真となって矛盾することに気が付きました。
と言うことで私の考えのどこが間違っているのですか？

記述のxとyの記述の順番で重要になってきて、
あるxが存在する、しかしそれは全てのyで次の条件が成り立たねばならない。→偽
[否定の場合]全てのxについて次の条件を満たすyが存在する。→真

といった感じでしょうか？教えてください。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

> (∃x∈R)(∀y∈R)(x≦y)

慣れないうちからこんな略記法を使ってると混乱しやすいだろうな。正書法に戻って、さらに括弧も略さずに書くと、

∃x(∀y(x∈R ∧ (y∈R → x≦y)))

この論理式は「任意のyについて（x∈Rであり，かつ，(y∈R ならばx≦y)である)ようなxが存在する。」と読めます。
なお、（「x∈R」の部分にyが出てこないから）
∃x(x∈R ∧ ∀y(y∈R → x≦y))
と書いても同じ意味になります。
で、この論理式は「x∈Rであり，かつ，(任意のyについて，y∈R ならばx≦y)であるようなxが存在する。」と読めます。
つまり，どっちも「集合Rには最小値が存在する」と言っているわけ。

一般に
∀x∈R, P は ∀x(x∈R → P)の略記であり、
∃x∈R, P は ∃x(x∈R ∧ P)の略記なんです。

さて、この論理式の否定は
￢(∃x(∀y(x∈R ∧ (y∈R → x≦y))))
ですが、先頭にある否定( ￢)を１ステップずつ内側へ移してみると、（以下は不要な括弧を略します）
∀x￢∀y(x∈R ∧ (y∈R → x≦y))
∀x∃y￢(x∈R ∧ (y∈R → x≦y))
∀x∃y(￢(x∈R) ∨ ￢(y∈R → x≦y))
∀x∃y(￢(x∈R) ∨ (y∈R ∧ ￢(x≦y)))
∀x∃y(￢(x∈R) ∨ (y∈R ∧ x>y))
これを"→"を使って表せば
∀x∃y(x∈R→ (y∈R ∧ x>y))

これは「x∈R」の部分にyが出てこないから、
∀x(x∈R→ ∃y(y∈R ∧ x>y))
とも書けます。もちろん、「任意のxについて、x∈Rならば、('y∈R かつx>y)であるようなyが存在する。」つまり「Rに最小値はない」という意味ですね。

回答No.3

noname#221368

誰もが一度は引っかかるところだと思います。

　Ａ(x，y)を関係式として、

　　(∀x)(∃y)Ａ(x，y)　　　(1)

　　(∃x)(∀y)Ａ(x，y)　　　(2)

の日本語への直訳は、

　　任意のxに対してyが存在し、Ａ(x，y)が成り立つ．　　　　　　　(1’)

　　あるxが存在し、任意のyに対して、Ａ(x，y)が成り立つ．　　　(2’)

だと思いますが、少し説明を足すと、

　　任意のxに対して（xに依存する）yが存在し、Ａ(x，y)が成り立つ．　　　　　　　　(1’’)

　　（yに依存しない）あるxが存在し、任意のyに対して、Ａ(x，y)が成り立つ．　　　(2’’)

です。(2’’)でx=y-1は、xがyに依存するので、不可という訳です。このような誤解を避けるために、日本語にするな、という人もいますが、ちょっとな、という気もします。

　そこでもう少し日本語らしくすると

　　各xに対してyが存在し、Ａ(x，y)が成り立つ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1’’’)

　　固定したxがあり（1個とは限らない）、任意のyに対して、Ａ(x，y)が成り立つ．　　　(2’’’)

となります。実際にこのように記述している成書もあります。

　でも日本語の語感としては微妙ですよね？。そこで以下は半分冗談ですが、こんな例はどうでしょう？。

　Ｘ＝{男全部の集合}，Ｙ＝{女全部の集合}、x∈Ｘ，y∈Ｙとして、Ａ(x，y)　：　xはyに「もてもて」という関係を表す。

　　(∀x∈Ｘ)(∃y∈Ｙ)Ａ(x，y)　　　(1’’’’)　：　誰にでも、運命の人はいる．

　　(∃x∈Ｘ)(∀y∈Ｙ)Ａ(x，y)　　　(2’’’’)　：　どうしようもなく、もてる奴がいる（そういう奴らは、一人とは限らない）．

・・・・(^^)。

回答No.2

Tacosan

後ろの方であってます. 強いていえば
「あるxが存在する、しかしそれは全てのyで次の条件が成り立たねばならない。」
と逆接や否定を使うのではなく
「あるxが存在し、全てのyで次の条件が成り立つ。」
とした方がいいかな. あるいは, 「∃x」を「適切な x を選ぶと」のように読んでもいいかもしれません.

いずれにしても, 限量子の順序は気を付けなければなりません. 常に前から読む必要があります.

回答No.1

DJ-Potato

矛盾なく、どっちも偽ですよね。

すべての実数xより常に小さい実数yは存在しないのではないでしょうか？

すべての実数xそれぞれに、より小さい実数yが存在する、という意味ではないと思います。