出題者が意図している（であろう）「命題」をきちんと書くと、おそらく
「任意のＸ,任意のＹについて（
（Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
（（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）
）」
でしょう。この命題（「命題P」と呼ぶことにします）は
P:「任意のＸ,任意のＹについてA(Ｘ,Ｙ）」
という形をしています。
A(Ｘ,Ｙ):「Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
（（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）」
は「自由変数（ＸとＹ）を含む論理式」あるいは「述語」と呼ばれるものです。ＸとＹは変数であって、A(Ｘ,Ｙ）は、ＸとＹに具体的なナニカを代入すると初めて命題になります。
そこで、例えばＸ＝－３かつＹ＝２であるとすると、命題
A(-3,2):「（－３＞０または２＞０）ならば(－３)＋２＞０」
が得られます。
(1) －３は整数である
(2) ２は整数である
だから命題
B(-3,2):「－３は整数 かつ ２は整数」
は真。
(3) ２＞０
だから命題
C(-3,2):「－３＞０または２＞０」
は真。しかし、命題
D(-3,2):「(－３)＋２＞０」
は偽なので、命題A(-3,2)、すなわち「C(-3,2)ならばD(-3,2)」は偽です。このように、A(X,Y)が偽になるようなX,Yの組み合わせが（ひとつでも）存在するのだから、命題
P:「任意のＸ,任意のＹについてA(X,Y)」
は偽である。
反例は何も「Ｘ＝－３かつＹ＝２」に限ったことじゃなくて、具体的なＸとＹの組み合わせをひとつ挙げて（たとえばX=x, Y=y（ただしx,yは具体的な数値）としましょう）、それを代入したときに得られる命題が
命題B(x,y)は真、命題C(x,y)は真、命題C(x,y)は偽
になれば、そのx,yの組み合わせが「反例」（命題Pが偽である事を示す具体例）です。だから「Ｘ＝２かつＹ＝－３」でも反例になっています。
しかしこの問題文には不備がある。第一に、
[1] ＸとＹが何を指しているか、範疇を明示していないのは酷いですね。例えば、
Q:「任意のＸ,任意のＹについて（
（Ｘは自然数 かつ Ｙは自然数）ならば
（（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）
）」
という命題は真ですし、
R:「任意のＸ,任意のＹについて（
（Ｘは負の整数 かつ Ｙは負の整数）ならば
（（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）
）」
も真。いずれも反例がありません。
問題文は「次の命題は偽である。」という文言によって、問題文の意図している「命題」がQでもRでもない、ということを推測しろとでもいうのでしょうかねえ。しかし、
[2] そもそも
「Ｘ＞０またはＹ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０」
は命題じゃありません。ＸとＹが何を表すかを明示して
「（Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
（（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）」
としてもなおこれは命題ではなくて述語A(X,Y)ですから、「真か偽か」と問うのはまるでオカド違いです。
述語A(X,Y)は（既に説明したように）具体的にX,Yを決めれば命題になりますし、また、先頭に
「任意のＸ, 任意のＹについて」
「Ｘが存在して, Ｙが存在して」
「任意のＸについて, Ｙが存在して」
「Ｘが存在して, 任意のＹについて」
「任意のＹについて, Ｘが存在して」
「Ｙが存在して, 任意のＸについて」
のどれか（限量子と呼びます）をくっつけても命題になります。例えば、
S:「任意のＸについて, Ｙが存在して
（（Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
（（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０））」
は命題であり、真か偽かを問うことが意味を持ちます。（命題は「閉じた論理式」「自由変数を含まない論理式」とも呼ばれます。）
[3] ANo.1, 2で指摘されているとおり、問題文に括弧が付いていないのもまずい。「Ｘ＞０または（Ｙ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０）」と読むこともできるから、解釈が定まらないのです。
[4] 解答もよろしくない。[3]のように括弧を付けて読んで、さらに記述の不足を補って、例えば命題
T:「任意のＸ,任意のＹについて（
（Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
（Ｘ＞０または（Ｙ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０））
）」
を考えたとすると、Tは偽である。なぜならＸ＝-３、Ｙ＝２は反例です。これが反例になっているのは、
「２＞０」は真であるが、
「(-３)＋２＞０」は偽であるから、
「２＞０ならば(-３)＋２＞０」は偽である。そして、
「-３＞０」は偽である。だから、
「-３＞０または（２＞０ならば(-３)＋２＞０）」は偽である。そして、
「-３は整数 かつ ２は整数」は真である。
だから「（-３は整数 かつ ２は整数）ならば（-３＞０または（２＞０ならば(-３)＋２＞０））」は偽である。反例が存在するから、Tは偽である。
つまり、ややこしいことに、問題文を「Ｘ＞０または（Ｙ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０）」と読んだ場合でも、解答にある「Ｘ＝-３、Ｙ＝２」が反例になっている。（しかし、X＝2、Y=-3 は命題Pの反例であるが、命題Tの反例ではありません。）だから、出題者がどっちの読み方をさせようとしたのか、解答を見てもまだ決まらない。
これらの理由で、この問題文および解答は甚だ不適切です。せっかく理解しかけている学習者を混乱させてしまいそうな、大変出来の悪い問題であり、出題者のセンスのなさってか馬（以下略）
お礼
ありがとうございました！