因数分解について

質問

この前質問した問題なのですが、x^3-2x+4=0
の因数分解が(x+2)(x^2-2x+2)=0になるのかがよくわかりません。あと、1-iはどうやって求めるのですか？教えて頂けると助かります。お願いします。

回答No.3

noname#222520 · ベストアンサー

与式の左辺は、xについての3次式であるから、1次式と2次式（場合によっては1次式と1次式の積）の積の形の表せる筈です。（3次方程式は、必ず1つの実数解をもちます。）
x^3の係数１=1*1、定数項4=1*4または(-1)*(-4)または2*2または(-2)*(-2)であるから、1次式の候補として次の6の式が考えられます。

x+1、x+4、x-1、x-4、x+2、x-2

これから、x+1=0を満たすx=-1、x+4=0を満たすx=-4、x-1=0を満たすx=1、x-4=0を満たすx=4、x+2=0を満たすx=-2、x-2=0を満たすx=2を与式の左辺に代入して0になるかどうかを確認します。

この結果、x=-2のときに与式の左辺=0になるので、与式の左辺はx+2を因数にもちます。
与式の左辺=(x+2)(x^2-2x+2)（単に、与式の左辺をx+2で割ればいいです。）

x^2-2x+2
=(x-1)^2-1+2
=(x-1)^2+1
=(x-1)^2-i^2
={(x-1)+i}{(x-1)-i}
={x-(1-i)}{x-(1+i)}

よって、x^2-2x+2=0の解は、
x=1±i

回答No.2

shintaro-2

＞この前質問した問題なのですが、

質問番号を記載してください。

>x^3-2x+4=0
>の因数分解が(x+2)(x^2-2x+2)=0になるのかがよくわかりません

と言われても
x^3-2x+4をX+2で割れば
(x^2-2x+2)になるので、仕方がありません。

普通に割り算して求めるか、

x^3-2x+4=(X+2)＊f(x)で　x^3の係数が１なので
x^3-2x+4=(X+2)（x^2　・・・）　までは決定ずみ、
x^2の係数が０なので＋２で発生する2^x2を消すために、-2xを導入
そうすると
x^3-2x+4=(X+2)（x^2-2x　・・・）　までは決定ずみ、
＋２と-2xで-4xが発生するので、2xを消すために-2を導入
x^3-2x+4=(X+2)（x^2-2x-2)　　めでたしめでたしです。

後は、後ろの2次方程式分を解の公式に入れれば
ｘ＝{２±√(4-8)｝/２＝１±ｉとなります。

回答No.1

f272

1+iが解であるならば1-iも必ず解になります。これは基本的な定理ですから覚えておいて損はありません。対になるのは、実数部が同じで虚数部の符号を変えたものです。
次に3次方程式の2次の係数が0ですから、3つの解の和は0です。
これで解がすべてわかりますね。-2と1+iと1-iです。
つまり３次方程式は(x+2)(x-1-i)(x-1+i)=0になります。