分子衝突

質問

参考書の解説一部抜粋

質量mの分子Aが質量Mの分子Bに衝突する場合、衝突の相対運動の運動エネルギーは、Rに沿う動径方向の運動とそれに直交する角度方向の運動とに分けることができる。
T=(1/2)μ(dR/dt)^2=(1/2)μ{(dR/dt)^2+(R^2)(dφ/dt)^2}
μ:換算質量 μ=mM/(m+M)
φ:ベクトルRの空間軸に対する角度

質問
なぜ、T=(1/2)μ{(dR/dt)^2+(R^2)(dφ/dt)^2}となるのですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

以下「~」でベクトルを表します。

動径方向および角度方向の単位ベクトルを
e~_r , e~_φ
とすると、
R~ = R e~_r

t で微分すると
dR~/dt = d(R e~_r)/dt = dR/dt e~_r + R de~_r/dt
しかるに
de~_r/dt = dφ/dt e~_φ
の関係により
dR~/dt = dR/dt e~_r + R dφ/dt e~_φ

したがって、
(dR~/dt)^2 = (dR/dt e~_r + R dφ/dt e~_φ)^2
　= (dR/dt)^2 + R^2 (dφ/dt)^2

これをTの表式に代入すると目的の結果を得ます。

お礼

返信が遅くなってすみません。
なぜ、de~_r/dt = dφ/dt e~_φとなるのですか？

(dR~/dt)^2 = (dR/dt e~_r + R dφ/dt e~_φ)^2
　= (dR/dt)^2 + R^2 (dφ/dt)^2
とありますが、
(dR~/dt)^2 = (dR/dt)^2 (e~_r)^2+ R^2 (dφ/dt)^2 (e~_φ)^2
とならないのはなぜですか？

詳しい解説お願いします。

回答No.2

yokkun831

＞なぜ、de~_r/dt = dφ/dt e~_φとなるのですか？

e~_r は単位ベクトルで向きだけが変化します。するとその変化分 de~_r は、e~_φの方向を向きます。また、その大きさは 1×dφ になります。図を描いて考えてみてください。

＞(dR~/dt)^2 = (dR/dt e~_r + R dφ/dt e~_φ)^2
　= (dR/dt)^2 + R^2 (dφ/dt)^2
とありますが、
(dR~/dt)^2 = (dR/dt)^2 (e~_r)^2+ R^2 (dφ/dt)^2 (e~_φ)^2
とならないのはなぜですか？

^2はもちろんベクトルの内積（スカラー積）を表していますから、
(e~_r)^2 = (e~_φ)^2 = 1
e~_r・e~_φ = 0
です。