数学の問題です。至急おねがいしたいです(>_<)

質問

数学の問題です(;_;)

よろしければ解き方を教えてください(;_;)

この問題についてお願いします(>_<)

質量ｍの物体が力Ｆを受けて、軌道Ｃ(ｔ0≦ｔ≦ｔ1)を描いて運動しているとする。このとき、Ｆが物体にする仕事は運動エネルギー(1/2)*mv^2とどんな関係があるか。仕事ｗはＣの方程式をｒとすると、力の変位方向の成分と距離の積で与えられ、ｗ=∫cＦ*drとなる。時間をｔ、速度をｖ=(ｄｒ/ｄｔ)、加速度Ａ=(ｄｖ/ｄｔ)とする。

どうかお願いします(;人;)

回答No.1

noname#224896

力Ｆ，位置ｒ，速度ｖ，加速度Ａは，それぞれベクトルを表すものとします．
そして，質量m，時間t，仕事wは，スカラー量であるとします．
物体に力Ｆ以外の力は働いておらず，位置エネルギーも存在しないという条件の下ですので，
質量 m の物体した仕事 w がどれくらいかというものは，エネルギー保存の法則を用いれば，
物体がt=t0のときの物体の速度をｖ0とし，
t=t1のときの物体の速度をv1とすると，
物体がした仕事w は，物体がt=t0からt=t1の間に失った運動エネルギーということになります．
つまり，w = (mｖ1²)/2 - (mｖ0²)/2と，おおよその予想を立てます．

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w = ∫c Ｆ・dｒ　．．．（１）
運動方程式は，mＡ=Ｆ
即ち，m(dｖ/dt) = Ｆ　と表せるので，
これを，式（１）に代入すると，
経路Ｃに沿った物体がした仕事は以下の通りで表せる．
w = ∫c m(dｖ/dt)・dｒ
= m ∫c (dｖ/dt)・dｒ　．．．（２）

ここで，dｒ = (dｒ/dt)dt，
更に，ｖ＝dｒ/dt として，
時間をパラメータにした積分に置き換えると，
式（２）は，w = m ∫t0→t1 (d²ｒ/d²t)・ (dｒ/dt)dt
　＝　(m/2) ∫t0→t1 d/dt｛(dｒ/dt)・ (dｒ/dt)｝dt　．．．（３）
dｒ/dt＝ｖ，
さらに，ｔ＝t0の時の速度をｖ０，ｔ＝ｔ１の時の速度をｖ１と置くと，
ｖ²　の値は，t=t0のとき，ｖ0²，t=t1のとき，ｖ1²　となる．
よって，式（３）は，次のように式変形できる．
w = (m/2) ∫ｖ0²→ｖ1² d(ｖ²)
　＝ (mｖ1²)/2 - (mｖ0²).2

∴　w = (mｖ1²)/2 - (mｖ0²).2
(但し，ｔ＝t0の時の速度をｖ０，ｔ＝ｔ１の時の速度をｖ１とする)
物体のした仕事と運動エネルギーの関係を記述せよというのでしたら，以下の通りになります．
物体がした仕事wは，ｔ=ｔ１のときの物体の運動エネルギーと，t=t0のときの物体の運動エネルギーとの差分で表される．
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解答は，以上です．
やはり，予想は間違っていないことが証明されました．

追記：（３）の式が一見するとごちゃごちゃしているように見えますが，（ｖ）＾２というものを作りたい為にはどうしたらよいか，ということを考えてみましょう．
結果を予想してみて足りないものを無理のない式変形で作り出すことがポイントです．

頑張って下さい＾＾