力学の証明問題

質問

(1)～(3)までの証明手順が分からなくて困っています…。
文章で書くと長くなってしまい、見辛いところがあると思います…。
(1)だけでも良いので、証明方法を記載していただけると嬉しいです。
助けてください。

問題

質量mの物体が力fベクトルを受けて運動するとき、時間ｔにおける物体の運動は運動方程式　m*dv(t)ベクトル/dt=fベクトル　にしたがう。ここで物体の速度vベクトル=dr(t)ベクトル/dtで、r(t)ベクトルは位置を表すベクトルである。以下の問に答えよ。

(1)力が中心力の場合fベクトル=rベクトル*F(r)/rのとき、角運動量Lベクトル=rベクトル×(mvベクトル)が保存することを運動方程式を用いて示せ。

(2)中心力が万有引力fベクトル=-GMm*rベクトル/r^3　（Mは中心にある物体の質量、Gは万有引力定数）である場合を考える。運動を行う２次元平面を極座標（r,θ）で表すと運動方程式は(m*d~2r/dt^2)-L^2/mr^3=-GMm/r^2、L=mr^2*dθ/dtとなる。
ここで(1)の結果から中心力では角運動量Lが保存することを用いた。以下の[a]、[b]について答えよ。
[a]u=1/rの変数変換をすると、dr/dt=-L/m*du/dθとなることを示せ。
[b] [a]を用いてrを角度θの関数として求め、L,G,M,mなどを用いて表せ。

(3)vベクトル×Lベクトル-GMmrベクトル/rが時間によらず一定であることを示せ。

回答No.2

noname#158987 · ベストアンサー

とりあえず、（１）だけ解きました。
こういった問題を丸投げするなら問題を写真かスキャナで取り込んだほうがいいです。
（F(r)がスカラーかベクトルかで悩む箇所がありました。以下は、スカラーだと思ってやってます。）

誰かが使ってましたけど、ここではベクトルを＃で表したいと思います。
たとえば、書く運動量なら、Ｌ＃ということで。

L#=r#×(mv#)
⇔L#=r# × (m dr#/dt)
の全体を時間微分する。
dL#/dt = (dr#/dt) × (m dr#/dt)　　＋　r# × (m d2r#/dt2)
=0 + r# ×r# * F(r)/r = 0
ゼロになる理由は、同じ向きのベクトルは外積がゼロだから。

以上をまとめると　dL#/dt = 0
よって、L#　＝　定数
よってほぞんする。

次以降も解けたら書き込みます。

お礼

ありがとうございます！！！助かりました！！！！

回答No.1

Tacosan

「角運動量が保存する」というのをどう数学的に表現するか, だけの勝負だろうねぇ.