太陽の周りを回る惑星の運動

質問

大学、初歩物理の質問です。考えが詰まってしまったのでアドバイスをお願いします。

太陽の周りを回る惑星の運動を同系方向と方位各方向に分けて考える。
m(d^2r/dt^2-r(dθ/dt)^2)=-GmM/r^2　・・・（１）
m(2dr/dt*dθ/dt+r*d^2θ/dt^2)=0 ・・・（２）
M:太陽の質量　r:太陽から惑星までの距離
θ:近日点から測った角度　G:重力定数

(1)惑星の運動では面積速度hが一定であることを示せ。
面積速度:h=r^2/2*dθ/dt
(2)式を両辺ｍで除し、ｒをかけると
(2r*dr/dt*dθ/dt+r*d^2θ/dt)=0
積分して微分の形に直す。
d/dt(r^2*dθ/dt)=0
積分して
r^2*dθ/dt=1/2*h(定数)　・・・（３）
よって面積速度は一定。

(2)前問の結果を用いてθを消去し、動径ｒのみを含む運動方程式を
求めよ。
（３）式を整理して（１）式に代入する。
m(d^2r/dt^2-r(h/r^2)^2)=GmM/r^2
md^2/dt^2=m(GM/r^2+rh^2/r^3)　・・・（４）
これが答えで良いのか疑問です。

(3)前問で得られた式は保存力を受ける一時限の質点の運動と同じである。ポテンシャルを求め図示せよ。
f(r)=m(GM/r^2+h^2/r^3)
f(r)=-dU(r)/dr
積分をして整理すると
U(r)=m(GM/r+h^2/(2r^2))
上式は多分マイナスが着くのだと思うんですが、式変形がどこかで間違っている？
図示：r=0のとき、（マイナス）無限大。rの絶対値が大きくなるほどUは小さく（大きく）なる。（括弧内の答えになることを期待）

(4)前問の結果で惑星が円軌道を描いて運動するのはどういう場合か。
引力によって抑えられる公転速度以下であれば円軌道、それ以下であれば惑星は戻ってこないで行きっぱなしになってしまう。
どのように記述すればいいか（式を使って書くのかどうか）がわかりません。

(5)上の結果を地球の運動に当てはめ、地球が円運動しているとか停止地球と太陽の距離1.5*10^11、公転速度3.0*10＾4、G=6.7*10＾-11を用いて太陽の質量を求めよ。（単位省略）

地球の公転している円周の長さ＝1.5*10^11*2*π
θ＝公転速度/円周の長さ
円運動なので、r,θは一定と考えてしまうとr',θ'は0となり、Mも０とならざるを得ない。どこの式を使っていくのかが不明です。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

批評がましくて何ですが，edw-19 さんのNo.3は少し間違いがあるようです．

> U(r)=m(GM/r+h^2/(2r^2))

これは遠心力を考慮に入れた実効的ポテンシャルを書いたのだと思うのですが．
右辺の外側(　)内の第１項 GM/r は負号がつきます．

> １/ｒ＝Ｕ

このＵとすぐ上の U(r) とは別物みたいですね．
混乱しないように，1/r=w と書くことにします．

> これ、U(r)=λ/１+ＣＯＳθまで行くから。

w(θ) = λ/(1+cosθ) の意味でしょうか？
w の微分方程式にした方が解きやすいのはそうですが，
この形に似ているのは w(θ) ではなくて r(θ) そのものです．
それから，λは定数をまとめたものでしょうが，これだと放物線になってしまいます．
この段階では円軌道，楕円軌道，放物線軌道，双曲線軌道，の可能性があるわけで，
離心率εが入って
r(θ) = λ/(1+εcosθ)
の形にならないといけません．

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もう少し詳しく言うと，少し計算して w(θ)の微分方程式が
(※)　　d^2w/dθ^2 + w = GM/h^2
(h = r^2 (dθ/dt) で定義)
なります．
この解は右辺をゼロにした微分方程式の一般解と(※)の特解との和ですが
前者が A cos(θ－θ_0) であるのは明らかですし(A とθ_0 は積分定数)，
w=GM/h^2 が特解であるのもただちにわかります．
あと，r に戻して適当に整理すれば
r(θ) = λ/(1+εcos(θ-θ_0))
になります．
θ_0 は角度をどこから測るかで吸収すれば
r(θ) = λ/(1+εcosθ)
としてもよいでしょう．
計算の途中を埋めてみればわかりますが，
ε=h^2 A/GM
になっていますので，離心率εは先の積分定数 A と関係します．

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> というかsiegmundを家庭教師として目の前に召還したい限りです（笑）

本題とは関係ないですが，召還は大使などを呼び戻すときに使います．
似た言葉で召喚もありますが，これは裁判所などが呼び出すときに使います．
「召」は偉い人が命じて来させる，ということです．
今の文脈で使うのなら，「招請」くらいが適当かと...
年取ると細かいところまでうるさくていかん(^^)．

お礼

かなり遅い返信になってしまって申し訳ないです。すっかりここに質問したことを忘れてしまってました。
> というかsiegmundを家庭教師として目の前に召還したい限りです（笑）
敬称まで抜けてしまって本当に失礼な一文になってしまってますね（汗）
文法までご指摘いただきありがとうございます。改めて御礼申し上げますm(_ _)m

回答No.3

noname#58790

何で？
-GmM/r^2=m(r-rθ^2)
m/r d(r-rθ^2)/dt=0

θ=L/mr^2
dr^2/dt^2+Gm/r^2=L^2/r^3

もう面倒。＾＿＾；
U(r)=m(GM/r+h^2/(2r^2))
１/ｒ＝Ｕにすれば
これ、U(r)=λ/１+ＣＯＳθまで行くから。

お礼

ご指摘ありがとうございます。色々な方向から考えることがやっぱり大事だと思うので、考えを参考にさせていただきました。
返信がかなり遅くて申し訳ありませんm(_ _)m

回答No.2

noname#58790

質量微分した辺りからちがーと思うけど。＾＿＾；

お礼

ご指摘ありがとうございます。質量自体を微分したつもりのところは無いと思っているんですが（係数としては残りますが）、パソコンだとどうも表記がしにくくて見づらいんですよね。
よろしければ具体的に何番の問題のどの辺かを指摘していただけるとありがたいです。
１～３番は間違ってるのがわかったのですが、修正が出来ないようなのでそのままの状態で残すしかないのかな（恥ずかしいので直したいんですが）

回答No.1

siegmund

> 太陽の周りを回る惑星の運動を同系方向と方位各方向に分けて考える。
動径方向と方位角方向，ですね(変換ミスだと思いますが)．

(1) 本質的に合っていますが，(3)式は
r^2*dθ/dt=2h(定数)
でないと上の
面積速度:h=r^2/2*dθ/dt
と合いませんね．

(2) (1)式の右辺の最初の負号がどこか行っちゃっているようです．
つまり，(4)式右辺(　)内第１項は負号がつく．
それから，(4)式の右辺(　)内の第２項 rh^2/r^3 は h^2/r^3 ですよね
(はじめの r が余計。ミスタイプ？)．
もうひとつ， h の定義がまた変です．
これだと
r^2*dθ/dt=h
としていることになります．

(3) 一時限 => １次元
(4)式の間違いを引きずっていますね．
> 図示：r=0のとき、（マイナス）無限大。rの絶対値が大きくなるほどUは小さく（大きく）なる。（括弧内の答えになることを期待）
物理的にはそうならないとおかしいですね．
はて，この結果でおかしくないか，といつも考えるのは大事ですね．

(4) ここまでの話は太陽の引力によって運動する惑星や彗星一般に適用できる話ですから，
円軌道，楕円軌道，放物線軌道，双曲線軌道，の可能性があります．
これまでに出てきたパラメーターだけでは決まりません．
例えば，運動のエネルギーを決めれば離心率が決まりますから，
軌道の種類が判定できます．

(5) 地球が円運動しているとか停止 => 仮定し，ですよね．
そえｒから，単位省略というのはいけません．
理工学では単位は極めて重要です．
答案やレポートに単位を書かないようでは単位(講義などの単位ですよ，念のため)は取れない，
というオヤジギャグが昔からあります(^^)．

> θ＝公転速度/円周の長さ
> 円運動なので、r,θは一定と考えてしまうとr',θ'は0となり、Mも０とならざるを得ない。
> どこの式を使っていくのかが不明です。
角度と角速度を混同しているようです．
θは角度ですよ．
一周すれは０から２πまで変化します．

お礼

再び迅速な回答ありがとうございます。何だか誤字やらタイプミスやら単純な計算ミス、勘違いなどケアレスミスが多くて情けないです。
とりあえず(4)番以外は解けました。(4)番はまだ手をつけてない状態なんでもう少し自分で考えてみることにします。またわからないことがありましたら聞くかもしれませんがその時はよろしくお願いします。
というかsiegmundを家庭教師として目の前に召還したい限りです（笑）