数学Bの問題

質問

数列に関する問題 下記の問題の解答と解説もお願いします

1.次の等比数列の一般項
　(1) 第２項が１２, 第５項が－９６

2.次の数列の和をΣを用いて表したもの
　(1) 2+6+10+・・・+(4n-2)

3. 次の和を表したもの
　(1) {25} Σ [ k=1 ] (5k+3)　　　(2) {n} Σ [ k=1 ] (4k-6)
　(3) {7} Σ [ k=1 ] (3k^2+2k)　　(4) {20} Σ [ k=1 ] k(k-5)

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

1.次の等比数列の一般項
　(1) 第２項が１２, 第５項が－９６
初項a(1)=c, 項比＝rとすると等比数列は
a(n)=cr^(n-1)

r,cを求めるときは
a(k)=cr^(k-1)
a(m)=cr^(m-1)
a(k)/a(m)=r^(k-m)
r=[a(k)/a(m)}^(1/(k-m)]
c=a(n)/r^(n-1)
を使う。

a(2)=12
a(5)=-96
a(5)/a(2)=-8=r^(5-2)=r^3
r=(-8)^(1/3)=-2
a(2)=cr^(2-1)=cr=12
c=12/r=-6

a(n)=-6×(-2)^(n-1)=3×(-2)^n

2.次の数列の和をΣを用いて表したもの
　(1) 2+6+10+・・・+(4n-2)

Σ [ k=1,n ](k)=n(n+1)/2　　　　（*）
Σ [ k=1,n ](c)=cn　　　　　　　（**）
を使う。

Σ [ k=1,n ](4k-2)=4[n(n+1)/2]-2n=2n^2

3. 次の和を表したもの

(*),(**)および
Σ [ k=1,n ](k^2)=n(n+1)(2n+1)/6 (***)
を使う。

　(1) Σ [ k=1,n=25 ] (5k+3)=5n(n+1)/2+3n
　 ＝1700

　　(2) Σ [ k=1,n ] (4k-6)=4n(n+1)/2-6n=2n(n-2)

　(3) Σ [ k=1,n=7 ] (3k^2+2k)=3n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)/2=n(n+1)(2n+3)/2　

　(4) Σ [ k=1,n=20 ] k(k-5) = Σ [ k=1,n=20 ] (k^2--5k)=n(n+1)(2n+1)/6-5n(n+1)/2
=n(n+1)(n-7)/3=1820

回答No.3

info222_

1.次の等比数列の一般項
　(1) 第２項が１２, 第５項が－９６
a_2=a_0 r=12
a_5=a_0 r^4=-96
a_5/a_2=r^3=96/12=8
r=2, a_0=12/2=6
一般項a_n=a_0 r^(n-1)=6×2^(n-1) ... (答)

2.次の数列の和をΣを用いて表したもの
　(1) 2+6+10+・・・+(4n-2)
　=2Σ[k=1, n] (2k-1)=2{2Σ[k=1,n]k -Σ[k=1,n] 1}
　=2{n(n+1)-n}
　=2n^2 ... (答)

3. 次の和を表したもの
　(1) Σ [ k=1,25 ] (5k+3)=5*25(25+1)/2 +3*25
　=25(65+3)=1700 ... (答)

　(2) Σ [ k=1, n ] (4k-6) =2n(n+1)-6n=2n(n+1-3)
　=2n(n-2)　.... (答)

　(3) Σ [ k=1,7 ] (3k^2+2k)=(3/6)*7(7+1)(2*7+1)+7(7+1)
　=476 ... (答)

　(4) Σ [ k=1, 20 ] k(k-5)= Σ [ k=1, 20 ] (k^2 -5k)
　=(1/6)*20*21*41-5*20*21/2
　=70*41-50*21=2870-1050=1820 ... (答)

回答No.1

f272

1.
等比数列の一般項はar^nの形をしています。
第2項が12だからa*r^2=12
第5項が-96だからa*r^5=-96
辺辺わってr^3=-8になり，r=-2
a*r^2=12に代入するとa*4=12になってa=3
つまり一般項は3*(-2)^nです。
2.
見ただけでΣ(4k-2)ですよね。ただしkは1からnまでです。
3.
何を答えればいいのでしょう？
(1)
8+13+18+23+28+33+38+43+48+53+58+63+68+73+78+83+88+93+98+103+108+113+118+123+128
=1700
=5*25*26/2+3*25
(2)
-2+2+6+...+(4n-6)=4*n(n+1)/2-6n=2n(n-2)
(3)
5+16+33+56+85+120+161=476=3*7*8*15/6+2*7*8/2
(4)
-4-6-6-4+0+6+14+24+36+50+66+84+104+126+150+176+204+234+266+300
=1820
=20*21*41/6-5*20*21/2