関数f(x)=xe^(-x)について

質問

関数f(x)=xe^(-x)について
(1)f(x)の極大値をとる点のx座標と極大値を求めよ。
という問題があるのですがどうやって極大値を求めるのか分かりません。

私は以下のようにして計算を行いました。
f(x)=xe^(-x)
f'(x)=e^(-x)×(1-x)=0より
x=1
極大値?=1/e

どうして極大値と分かるのでしょうか?
グラフは添付した図のようになると考えています。

(2)極限limf(x) [x→0]について
グラフが書ければ分かると思うのですが、グラフを使わず、計算で求めたいのですがどうすればいいでしょうか?

お手数おかけしますがよろしくお願いします。
また、この問題に限らず、関数の極大・極小を求めるやり方も教えていただけると助かります。

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回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞f(x)=xe^(-x)
＞f'(x)=e^(-x)×(1-x)=0より
＞x=1
＞極大値?=1/e
＞どうして極大値と分かるのでしょうか?

f'(x)=e^(-x)×(1-x)=0

この式は「接線の傾き」を示す式です。

この式が０という事は「接線の傾きが０」という事で「接線が水平（X軸と平行）」と言う意味です。

そして「接線の傾きが０になるのは、グラフの極大値か極小値のどちらか」です。

「山の頂上では接線が水平になる」し「谷の底では接線が水平になる」のです。

お礼

回答ありがとうございました。よろしければ補足にも答えていただけると助かります。

補足

この問題は山の頂上に該当するのでしょうか?