黄金角の回転を繰り返すとフィボナッチ数の螺旋が現れ

質問

黄金角の回転を繰り返すとフィボナッチ数の螺旋が現れる理由

ヒマワリや松ぼっくりなどに
「フィボナッチ数の螺旋が現れる」…(1)
ことは有名ですし、それらがφ=(1+√5)/2として
「黄金角2π/(1+φ)=2π/(φ^2)だけ回転しながら枝をつける」…(2)
ことも知られています。

そこで(2)ならば(1)となることを示そうと考えたのですが上手くいきません。

試行錯誤の末、F[n]をn番目のフィボナッチ数として
F[n]/(φ^2)≒φ^n/(√5×φ^2)=φ^(n-2)/√5≒F[n-2]
からF[n]/(φ^2)は整数に近いため、
「黄金角のフィボナッチ数倍が2πの整数倍に近い（F[n]番目の枝が0番目の枝の近くに来る）」…(3)
は分かりました。
しかし(3)は(1)の必要条件であり、(1)を示す根拠として不足しています。

上手く(1)の必要十分条件を設定し、(2)⇒(1)を示して頂けませんか？

回答No.1

bran111

>「フィボナッチ数の螺旋が現れる」…(1)
ことは有名ですし、それらがφ=(1+√5)/2として
「黄金角2π/(1+φ)=2π/(φ^2)だけ回転しながら枝をつける」…(2)

(1)はいいとして(2)はフィボナッチ数列を誤解していませんか。

フィボナッチ数列は

F(n+2)=F(n+1)+F(n)

で定義され、植物の対称性の話に出てくるフィボナッチ数列は

F(1)=F(2)=1の条件を満たすものに限定され、具体的には

1,1,2,3,5,8,13,21,......

となり、一般項は

F(n)=[(1+√5)/2]^n/√5-[(1-√5)/2]^n/√5

で表されます。1,1,2,3,5,8,13,21,......という整数列が√5という無理数を持ち込まなければ記述できなというところが摩訶不思議な点です。

http://mshi.no.coocan.jp/pukiwiki/?%B8%A6%B5%E6%BC%BC%2F%A5%D5%A5%A3%A5%DC%A5%CA%A5%C3%A5%C1%BF%F4%A4%C8%BF%A2%CA%AA

質問者は(1+√5)/2だけを取り出して話を作っていますが、(1-√5)/2も取り入れないと整数列が得られないことを理解していますか。

(1+√5)/2は黄金比であって、lim(n→∞)F(n)/F(n-1)が黄金比になることと区別がついていますか。

補足

フィボナッチ数列の一般項については把握しています。
＞F[n]/(φ^2)≒φ^n/(√5×φ^2)=φ^(n-2)/√5≒F[n-2]
の変形を見て(1-√5)/2（=ψとおきます）が出てこないと思われたのかもしれませんが 、|ψ|<1よりnが大きければψ^n≒0とみなせるため
F[n]/(φ^2)=(φ^n+ψ^n)/(√5×φ^2)≒φ^n/(√5×φ^2)
といった変形をしています。