フィボナッチ数列の極限

質問

n番目のフィボナッチ数をFnとします。このとき、
1/F1F2-1/F2F3+1/F3F4-1/F4F5+…
=1-1/2+1/6-1/15+…
を求めたいのですが、どうやって求めればよいでしょうか?
パソコンで計算したところ、(-1+√5)/2に収束するらしいことは分かったのですが、その証明が分かりません。
出来れば早めに回答を頂きたいです。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

F(n+2)F(n)-F(n+1)^2=(-1)^(n-1)・・・★
という関係式を使えば、一般項は、
(-1)^(n-1)/F(n)F(n+1)
={F(n+2)F(n)-F(n+1)^2}/F(n)F(n+1)
=F(n+2)/F(n+1)-F(n+1)/F(n)
となるので、部分和が簡単になって、級数の和は
結局フィボナッチ数列の二項間の比の極限値を
求めることになります。
★の関係式は、フィボナッチ数列の漸化式
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
を行列で表現すると、
F(n+2) F(n+1)
F(n+1) F(n)
なる行列をA(n)、
1 1
1 0
なる行列をBとすると、
A(n)=B・A(n-1)
となるので、
A(n)=B^(n+1)
となり、両辺の行列式をとると、
F(n+2)F(n)-F(n+1)^2=(-1)^(n+1)=(-1)^(n-1)
となって出ます。
この途中計算で、F(0)=0としています。

お礼

なるほど、その通りに計算すると、確かに
1/F(1)F(2)-1/F(2)F(3)+1/F(3)F(4)-1/F(4)F(5)+…
=(F(3)/F(2)-F(2)/F(1))+(F(4)/F(3)-F(3)/F(2))+(F(5)/F(4)-F(4)/F(3))+(F(6)/F(5)-F(5)/F(4))+…
=-F(2)/F(1)+lim[n→∞](F(n+1)/F(n))
=-1+(1+√5)/2
=(-1+√5)/2
となりました。こんなにうまくいくとは驚きです。
ありがとうございました。