定積分ができません

質問

数カ月前に見つけたある問題の計算なのですが、答えをなくしてしまったので教えてください。∫[π→π/4](sin^2tcost-sin^3t) dt －∫[０→π/4](sin^2tcost-sin^3t) dtがいまだに解けません、何を使えば解けるのでしょうか？解まで教えてください。高校の積分は一通り学習済みです　よろしくお願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

[確認]積分範囲
[π→π/4]は「πからπ/4まで」の積分、
[０→π/4]は「０からπ/4まで」の積分
でよろしいですか？

そうであれば
I=I1-I2,
I1=∫[π→π/4] sin^2(t)cos(t)-sin^3(t) dt
=∫[π→π/4]{sin^2(t)*(sin(t))'+(1-cos^2(t))*(cos(t))'} dt
=[(1/3)sin^3(t)+cos(t)-(1/3)cos^3(t)][π→π/4]
=√2/12+√2/2+1-√2/12-1/3
=(2/3)+(√2/2)
I2=∫[0→π/4]sin^2(t)cos(t)-sin^3(t) dt
=∫[0→π/4]{sin^2(t)*(sin(t))'+(1-cos^2(t))*(cos(t))'} dt
=[(1/3)sin^3(t)+cos(t)-(1/3)cos^3(t)][0→π/4]
=√2/12+√2/2-1-√2/12+1/3
=-(2/3)+(√2/2)

　∴I=I1-I2=4/3

お礼

ありがとうございます。置換積分で行けるんですね( ^)o(^ )