数学 積分法

質問

数学でわからない問題があります。

cos^3xsinxを積分したいのですが、うまくいきません。
私が考えたのはこういうものです。
sinx=tとおく。cosxdx=dt
cos^3xsinx=cos^2xcosxsinx
また、cos^2x=1-sin2xより
∮cos^3xsinx dx=∮(1-t^2)t dtとなる。

よって1/2t^2-1/4t^4+Cより
1/2sin^2x-1/4sin^4x+C (Cは積分定数)

こうしたのですが違いました。
cosx=tとすると解答と一致し、
-1/4cos^4x+C となりました。

sinx=tのやり方のどこが間違っているのかわかりません。
教えてください。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

> しかし、cosx=tとおいて計算した、正式な答えは-1/4cos^4x+Cなのです。

ですから、それとsin x=tとおいて計算した
(1/2) sin^2 x-(1/4) sin^4 x +C
= - (1/4) cos^4 x + 1/4 +C
は（積分）定数を除いて一致しているからいい（どっちも間違ってない）でしょ？という話。

例えば∫(x+1) dxというのは計算の仕方によっては(1/2) (x+1)^2 +Cとする人もいれば(1/2)(x^2) + x + Cとする 人もいますが、
(1/2) (x+1)^2 = (1/2) x^2 + x + (1/2)
で、(1/2)(x^2) + x とは1/2だけ違いますが、これも積分定数の違いで別に問題ないという話ですよね（どっちも微分するとx+1に戻りますね）

お礼

何度も回答申し訳ありません。
そしてありがとうございます。
おかげでよくわかりました。
積分定数のその話は、私の知識不足でした。
本当にありがとうございました。

回答No.2

tmppassenger

(1/2) sin^2 x-(1/4) sin^4 x
= (1/4) - (1/4) (1 - 2 sin^2 x + sin^4 x)
= (1/4) - (1/4) (1 - sin^2 x)^2
= (1/4) - (1/4) (cos^2 x)^2
= (1/4) - (1/4) cos^4 x
となって積分定数を除いて一致する。

お礼

回答ありがとうございます。

しかし、cosx=tとおいて計算した、正式な答えは-1/4cos^4x+Cなのです。
よろしければ、sinx=tとおくやり方でのこの答えの求め方を教えてください。

回答No.1

shintaro-2

>また、cos^2x=1-sin2xより
>∮cos^3xsinx dx=∮(1-t^2)t dtとなる。

ここが間違い

cos^2x=1-sin2x　なので
(1-t^2)にはならない

お礼

回答ありがとうございます。

すみません。
cos^2x=1-sin2xは私の入力ミスで、
正確にはcos^2x=1-sin^2xでした。