線積分にの問題についてお願いします。

質問

教えていただきたいのは以下の問題です。

C1: x=t, y=0 (-1≦t≦1)

C2: x=cos[t], y=sin[t] (0≦t≦π)

C= C1+C2 とするとき

∫[C]・y*e^(x^2+y^2) dx

を求めよ

教科書に乗っていた公式?

∫[C]・f(P) dx =∫[a,b]・f(x(t),y(t))*x'(t) dt

に当てはめると、f(x,y)=y*e^(x^2+y^2)とおいて

∫[C1]・f(x,y) dx =∫[-1,1]・f(t,0)*1 dt = ∫[-1,1]・0 dt = 0

∫[C2]・f(x,y) dx =∫[0,π]・f(cos[t],sin[t])*(-sin[t]) dt

=∫[0,π]・sin[t]*e*(-sin[t]) dt =∫[π,0]・e*sin^2[t] dt

=∫[π,0]・e*(1-cos^2[t])/2 dt

= [(e/4)*(2t-sin^2[t])]・[π,0]

= (-e/2)*π

よって
∫[C]・y*e^(x^2+y^2) dx

= ∫[C1]・f(x,y) dx + ∫[C2]・f(x,y) dx

= (-e/2)*π ■

としたのですが、計算が複雑でなにか工夫が必要らしいのです、、、

線積分に触れることが普段ないのもあって困ってます。

ヒントだけでいいのでどうかよろしくおねがいします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>∫[C2]・f(x,y) dx =
...
> =∫[0,π]・sin[t]*e*(-sin[t]) dt
> =∫[π,0]・e*sin^2[t] dt
積分の上下を入れ換えるような小ざかしいことをしない（間違いの原因）。
偶関数の性質を使う。
=-2e∫[0,π/2]・{sin(t)}^2 dt
半角の公式を使って
=-e∫[0,π/2]・{1-cos(2t)} dt
=-e [t-(1/2)sin(2t)] [0,π/2]
=-πe/2

後に続く
>よって
...

お礼

>=∫[π,0]・e*(1-cos^2[t])/2 dt
は
=∫[π,0]・e*(1-cos[2t])/2 dt
の書き間違いでした、すいません。
間違いとはココのことですよね?

回答ありがとうございました。

回答No.2

info22

#1です。

A#1の補足について
半角の公式は間違いですね。
A#1で指摘したこと以外は前も、後に続く内容も合っていますので
問題ありません。

お礼

ありがとうございます。
たすかりました。m(、、)m