∫x^2sin^-1xdxの積分です

質問

∫x^2sin^-1xdxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが，

x=sintと置くとsin^-1x=tとなりdx=costdtとする時
∫x^2sin^-1xdx
=∫t(sint)^2costdt
=∫t(sint)^2(sint)'dt
=1/3t(sint)^3-∫t(sint)^3dt
=1/3t(sint)^3-1/4t(sint)^4+c
tとsintをもとに戻して
=1/3x^3sin^1x-1/4x^4sin^-1x+c

となりました。途中式・解答はあってますか？よろしくお願いします。

回答No.2

hatake333 · ベストアンサー

※ANo.1の訂正
以下に訂正します．3,4,5行目の第1項の指数が異なっていました．
∫t(sint)^2cost dt
=∫t(sint)^2(sint)'dt
= t(sint)^2 * sint - ∫{t(sint)^2}' * sint dt
= t(sint)^3 - ∫{(sint)^2 + t * 2sintcost} * sint dt
= t(sint)^3 - ∫(sint)^3 dt - 2∫t(sint)^2cost dt
3∫t(sint)^2cost dt = t(sint)^3 - ∫(sint)^3 dt

お礼

ありがとうございました。もう一度参考にしてやり直してみます。

回答No.1

hatake333

3行目は，∫t(sint)^2(sint)'dt をt(sint)^2 と(sint)'の部分に分けて
部分積分を行ったのだと思いますが，1/3t(sint)^3-∫t(sint)^3dt
にはならなそうです．次のようになります．
∫t(sint)^2cost dt
=∫t(sint)^2(sint)'dt
= t(sint)^2 * sint - ∫{t(sint)^2}' * sint dt
= t(sint)^2 - ∫{(sint)^2 + t * 2sintcost} * sint dt
= t(sint)^2 - ∫(sint)^3 dt - 2∫t(sint)^2cost dt
3∫t(sint)^2cost dt = t(sint)^2 - ∫(sint)^3 dt
あとは，∫(sint)^3 dt を求めて，元に戻すだけです．
答えは，
　　(1/3)x^3sin-1x + (1/9)(x^2 + 2)√(1 - x^2) + C
となるはずです．