変域が変わる最大最小

質問

問題　y＝x^2＋4x＋5（a≦x≦a＋2）について最小値をm（a）、最大値をM（a）とするとき以下の問いに答えなさい。
1. m（a）を場合分けすることにより求めなさい。

2. M（a）を場合分けすることにより求めなさい。

3. M（a）の最小値を求めなさい。

ネットで見つけた問題です。解答がなく答えや解説がわかりません。
答え、解説を教えていただければ嬉しいです。🙇‍♂️

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

問題文の表現が良くないですね。
　「m（a）を場合分けすることにより求めなさい」ではなくて，「aを場合分けすることにより. m（a）を求めなさい」とすべきでしょう。

　まず２次関数y＝x^2＋4x＋5を「標準形」に変形しますね。いわゆる平方完成の形です。
y=(x+2)^2+1と変形されますから，このグラフは直線x=-2を対象軸とし，点(-2,1) を頂点とする下に凸の放物線です。
　区間a≦x≦a＋2と対象軸x=-2との位置関係で「aを場合分けすること」が必要になるのです。
　あとはグラフを書いてそこに区間がどんな位置関係にあるかを動かしてみるとわかります。

１について
（１）a+2＜-2 すなわちa＜-4の場合（区間よりもグラフが完全に左側に外れている場合）
x=a+2で最小値をとる。したがって
m(a)=(a+2)^2+4(a+2)+5=a^2+8a+17

（２）a＜-2≦a+2 すなわち，-4≦a＜-2の場合（軸が区間の中にある場合）
x=-2 で最小値をとる。したがって
m(a)=1

（３）-2≦a の場合（（区間よりもグラフが完全に右側に外れている場合）
x=aで最小値をとる。したがって
m(a)=a^2+4a+5

２について
　aとa+2の真ん中はa+1ですね。最大値にはこれと軸との位置関係が問題になってきます。区間内で放物線の左端と右端でどっちが高い（上にある）かで最大値を取るのが右端なのか左端なのかが決まります。
（１）a+1＜-2 すなわち a＜-3の場合（放物線の左端が高い場合）
x=a で最大値をとる。したがって
M(a)=a^2+4a+5

（２）-2≦a+1 すなわち a≧-3 の場合（放物線の右端が高い場合）
M(a)=(a+2)^2+4(a+2)+5=a^2+8a+17

３について
　２で次の結果を得ています。
M(a)=a^2+4a+5（a＜-3の場合）
M(a)=a^2+8a+17（ a≧-3 の場合）

「aの２次関数」ですね。
a＜-3の範囲では，M(a)=a^2+4a+5=(a+2)^2+1
a≧-3の範囲では，M(a)=a^2+8a+17=(a+4)^2+1
ですから，この範囲でこのグラフを描けば最小値が見えてきますね。
結果は，a=-3のとき最小値2です。

回答No.1

muturajcp

a≦x≦a+2
y=x^2+4x+5
y'=2x+4=2(x+2)
x<-2の時y'<0だからxが増加時yは減少
-2<xの時y'>0だからxが増加時yは増加
y=(x+2)^2+1≧1=y(-2)
だから
最小値y(-2)=1

1)
-2<aの時
-2<a≦x≦a+2だから
-2<xだからy'>0だからxが増加時yは増加だから
y(a)≦y≦y(a+2)だから
yの最小値m(a)=y(a)=a^2+4a+5

-4<a<-2の時
a<-2<a+2
a≦x≦a+2だから
x=-2の時yは最小となるから
yの最小値m(a)=y(-2)=1

a<-4の時
a+2<-2
a≦x≦a+2<-2だから
x<-2だからxが増加時yは減少だから
y(a)≧y≧y(a+2)だから
yの最小値m(a)=y(a+2)=a^2+8a+17

2)
区間
a≦x≦a+2での
yの最大値は区間の端の
y(a),y(a+2)のどちらかだから

y(a+2)-y(a)
=a^2+8a+17-(a^2+4a+5)
=4a+12
=4(a+3)

a>-3の時
y(a+2)>y(a)だから
M(a)=y(a+2)=a^2+8a+17

a≦-3の時
y(a+2)≦y(a)だから
M(a)=y(a)=a^2+4a+5

3)
a≦-3の時
M(a)=a^2+4a+5
M'(a)=2a+4
a≦-3
M'(a)=2a+4<4-6=-2<0
だからaが増加時M(a)は減少だから
M(a)≧M(-3)=(-3)^2+4(-3)+5=9-12+5=2

a≧-3の時
M(a)=a^2+8a+17
M'(a)=2a+8=2(a+4)
a≧-3
2(a+4)≧2(4-3)=2>0
だからaが増加時M(a)は増加だから
M(a)≧M(-3)=(-3)^2+8(-3)+17=9-24+17=2

∴M(a)の最小値は
2