連鎖ってどういうことですか?

質問

連鎖を理解したいです。
リンク先のページに下記のようにありました。
リンク先http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20080918/p1
--------引用します---------------
岩波文庫「数について」{デーデキント著　河野伊三郎訳} §1-2
あらゆる言葉の中から、いちばんの基礎になると数学者が考えたのは、
「集合」、「要素」、「含まれる」、「写像」
の4つでした。

§4-36
「もしφが集合Sの相似な、または相似でない写像で、φ(s)が集合Zの部分集合ならば、φをSのZの「中へ」の写像と呼び、SはφによってZの中へ写像されたという。従って、もしφ(s)⊂Sならば、φを集合Sの「自分自身の中への」写像と呼び、本節ではこのような写像φの一般的法則を研究したい。・・・」

§4-37
「もしK'⊂Kならば、Kを「連鎖」という。」

§6-71
「一つの集合Nは、Nを自分自身の中へ写す相似写像が存在して、その結果Nが、φ(N)に含まれない一つの要素の連鎖とし て現れてくるとき、「単純無限」と呼ぶ。この要素を以下には記号１で表すことにしたい。これをNの「基礎要素」と呼び、同時に単純無限集合はこの写像φに よって「順序づけられる」という。・・・」
--------引用終わり---------------

0と自然数が全部入った無限集合Zから始めます。
でも、数たちがどれがどれかわからないのでa,b,c,…,x,yとします。

　(1)
　Z={a,b,c,…,x,y}とします。
　写像φ()は{}をつけることだとします。

　写像φ(Z)={Z}=Z'とすると
　{Z}=Z'={{a,b,c,…,x,y}}
　Zが広がっていきます。

　{Z}={{a,b,c,…,x,y}}=Z'￢⊂Zです。(真部分集合でないことを表現する記号がでないので￢⊂とします。)
　{Z}={{a,b,c,…,x,y}}=Z'⊃Zです。
　連鎖でないです。

　広がっていってしまうと、1にたどり着かないです。
　誤っています。

連鎖で狭めていって、最後に1にたどり着くはず。と考えています。

　(2)
　写像φ()は()の中の集合から、要素を1つ、除いた集合とします。
　Z={a,b,c,…,x,y}とします。
　写像φ(Z)={b,c,…,x,y}=Z'
　写像φ(Z')={c,…,x,y}=Z''
　繰り返していって
　写像φ(Z''…')={y}=Z''…''

　すると
　φ(Z''…')={y}=Z''…''⊂…⊂φ(Z')={c,…,x,y}=Z''⊂φ(Z)={b,c,…,x,y}=Z'⊂Z={a,b,c,…,x,y}
　なので連鎖のように思います。

　それで、φ(Z''…')={y}=Z''…''を最後の1個として、1とします。
　もう1回写像φ()すると
　写像φ(Z''…'')={}=Z''…'''を0とします。

　Zを写像φ()するつまり、'すると、次の数でなくて、前の数になります。
　誤っています。
、
または、残ったもののほうを考えてみます。

　(3)
　写像φ()は()の中の集合から、要素を1つ、除いた集合とします。
　Z={a,b,c,…,x,y}
　写像φ(Z)={b,c,…,x,y}
　'することをZから何回かZを写像φ()して除いたものとします。
　Z-写像φ(Z)={a,b,c,…,x,y}-{b,c,…,x,y}={a}=Z'
　Z-写像φ(写像φ(Z))={a,b,c,…,x,y}-{c,…,x,y}={a,b}=Z''
　繰り返していって
　Z-写像φ(…写像φ(Z)…)={a,b,c,…,x,y}-{y}={a,b,c,…,x}=Z''…''
　Z-写像φ(…写像φ(写像φ(Z))…)={a,b,c,…,x,y}-{}={a,b,c,…,x,y}=Z''…'''=Z

　これなら
　Z-写像φ(Z)={a}=Z'⊂Z-写像φ(写像φ(Z))={a,b}=Z''⊂…⊂Z-写像φ(…写像φ(Z)…)={a,b,c,…,x}=Z''…''⊂Z-写像φ(…写像φ(写像φ(Z))…)={a,b,c,…,x,y}=Z''…'''=Z

　Zから写像φ(Z)を除いて残った{a}を1とします
　Zから写像φ(写像φ(Z))を除いて残った{a,b}を2とします

　とすると、
　Zから写像φ()をしないでZを除いて残った{}を0とします。

　Z'⊂Zは成り立ちますが
　Z'⊂Z''⊂…⊂Z''…''⊂Z
　なので連鎖じゃないような感じがします。
　Z''…''の次の数がZになって''…''がなくなってしまいます。
　誤っています。

うまい説明はないでしょうか?

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

中途半端に抜粋した所から変に類推しようとするから混乱する。きちんと本を読んで、まずは正確な定義を把握してから。

ということなのですが、Dedekindの考えは分かったので、正確な定義を（分かり易いように多少言葉を変えたり付け加えたりして）書くと、こんな感じ。

Sを集合、φをSからSへの写像とする。
* Sの部分集合Kが（φに関する）連鎖であるとは、φ(K) ⊂ Kを満たす事をいう。
* Sの部分集合Aについて、「（φに関する）連鎖であって、かつAを部分集合として含むもの」全体からなる集合の共通部分を、（φに関する）Aの連鎖と定義する。
注：この定義から、（φに関する）Aの連鎖A'は、A⊂A'を満たし、かつA'は（φに関する）連鎖となる。

集合Sが単純無限とは、次のことを満たすことである。
あるSからSへの写像φと、Sの要素a (a∈S)が存在し、以下を満たす。
* a ∉φ(S)
* φは単射
* Sは（φに関する）{a}の連鎖
この時、 aは（Sのφに関する）基礎要素という。

φというのは、あくまで SからSへの写像です。（今考えている例では ZからZへの写像）
> 写像φ()は{}をつけることだと
> 写像φ()は()の中の集合から、要素を1つ、除いた集合
とかいうのは、「ZからZへの写像」ではないですね。もう一度よく考えてみましょう。

まあ、今は自然数全体の集合と0を含む集合Zが単純無限な集合として考えたいので、
* a = 0
* NからNへの単射φは、「φ(x)というのは、φ(0)=1, xが自然数ならφ(x)はxの次の自然数」として定義する
注：ここで「次の自然数」というあたりが、Nがφによって「順序づけられる」ことを暗に含んでいる

と考えた時、

「Nのφに関する{1}の連鎖」

というのが何になるかを考えてみましょう。定義をもう一度みて、じっくり考えてください。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。
私は連鎖の前に写像がわかってないです。

φ()について、
　(1)()の中には集合だけが入りますか?　要素だけが入りますか?
　(2)φ()した後は、集合にだけなりますか?　要素にだけなりますか?

　正)集合Sが入る　φ(S)　と　集合Sになる
　正)要素1が入る　φ(1)　と　集合{1}になる　
　正)要素0が入る　φ(0)　と　要素1になる
　誤)集合　が入る　φ(　)　と　要素　になる　
　上の正誤表はあってますか?

定義から調べて考えてみます。
また、じっくり考えずに、コメントしてごめんなさい。

回答No.8

tmpname

取り敢えず
Φ(…)=a
などというのは、どうなっているのか分らない。あなたの例では、そもそもZやφをどう定義しているのか分りません。....の部分がどうなっているのか分らない。

最初に書いてあるとおり、もっと具体的な例で考えてみてください。
Zを0以上の整数の集合、φ: Z→Z をφ(x) = x + 1で定義した時、
φに関する{0}の連鎖はどうなりますか？
（因みに、この0は数字の0ですよ。途中から数字の0なのか空集合なのかごっちゃになってませんか？）

お礼

回答ありがとうございます。

正解か、誤りか、判別できないあいまいな質問をしてしまいました。
申し訳ありませんでした。

私は
最後の今には
Zを整数全体だろうと思っています。

最初の質問した時点では
Zは0と1とたくさんの要素が属する集合
だと思っていました。

写像φを考えたとき、終わりが無いんだと気づいたら、
始まりも無なくなってしまいました。

始まりがなくても、共通部分をとると、連鎖ができるので
運がよかったです。

…の説明は難しいです。

…からいくらでも別の各々異なる要素を取り出してくることができる。
…が{と}で包んで単射でφできる。

上2行の説明が私には現状できません。
回答者様に追いつけません。

それでも、私は、
Zを0以上の整数の集合、φ: Z→Z をφ(x) = x + 1で定義
したくありません。
してないのでわかりませんが、たぶん、できます。
でも、したくありません。

なぜなら、連鎖を考えると、1という数が見つかる。
というのがイカしてるところだからです。
数と足し算をつかって定義するのは、粋じゃないです。
野暮ったいです。

0と空集合の区別は説明できません。
考えたいと思います。

no.3の写像φの説明はすばらしく、捨てがたいです。
私と同様に、はまっているひとを救える可能性があります。

ですが、ベストアンサーはno.1の回答にいたします。

きちんと本を読んで、まずは正確な定義を把握してから。

とあるからです。

自分の読み違え、誤解に気づくことを大いに楽しみ、
大変満足いたしました。

改めまして、回答者様。
そなたに百万の感謝を。

とはいえ、ボタンを百万回押すの大変なので、1回押します。

回答No.7

tmpname

もっとわかりやすく言えば、Aの連鎖A'というのは、
「Sの部分集合で（φに関する）連鎖になっている集合をすべて洗いだし、その中でAを含んでいるものだけを選び出した後、選び出した集合の全てに入っている要素を集めたもの」
です。

お礼

回答ありがとうございます。
互いに異なる要素が無限個属する、集合Zがある。
Z={a,b,c,…}

写像Φ()する。
Φ(Z)={a,b,c,d,…}={Φ(…)=a,Φ(a)=b,Φ(b)=c,Φ(c)=d,Φ(…)=…}
　…
Φ(…)=a
Φ(a)=b
Φ(b)=c
Φ(c)=d
Φ(…)=…
　…

もう1回写像Φ()する。
Φ(Φ(Z))={a,b,c,d,…}={Φ(φ(…))=φ(…)=a,Φ(φ(…))=Φ(φ(a))=b,Φ(Φ(a))=c,Φ(Φ(b))=d,…}
　…
　Φ(Φ(…))=Φ(…)=a
　Φ(Φ(…))=Φ(a)=b
　Φ(Φ(a))=Φ(b)=c
　Φ(Φ(b))=Φ(c)=d
　Φ(Φ(…))=Φ(…))=…
　…

Z=φ(Z)=φ(φ(Z))…

「Zのφに関する{0}の連鎖」

0={}　　

Zの（φに関する）連鎖であって、
　(φに関する)連鎖はたくさんある。
　…
　連鎖A'={a,b,c,…}
　φ(A')={b,c,d,…}
　φ(A')⊂A'
　A={a}の連鎖はA'
　連鎖B'={b,c,d,…}
　φ(B')={c,d,e,…}
　φ(B')⊂B'
　B={b}の連鎖はB'
　連鎖C'={c,d,e,…}
　φ(C')={d,e,f,…}
　φ(C')⊂C'
　C={c}の連鎖はC'
　…

かつ、たくさんある連鎖で、{0}={{}}を部分集合として含むものは、
たくさんある連鎖の全部。

その共通部分は
　…∩A'∩B'∩C'∩…
{{}}がすべての集合に含まれてしまって右端がわからない。
Zに要素0={}を入れたつもりで、場所を決めてなかった。

{}の場所を決める。
端っこを作る。
B={b}の連鎖B'={b,c,d,…}をZから取ってくる。
φ(B')={c,d,e,…}
　φ(b)=c
　φ(c)=d
　φ(d)=e
　φ(…)=…
　…

φ(φ(B'))={d,e,…}
　φ(φ(b))=d
　φ(φ(c))=e
　φ(φ(…))=…
　…
基礎要素b=1
B'={b,φ(b)=c,φ(φ(b))=φ(c)=d,…}
{}のおき場所はbからφを伝って次へいく先には無い。

{{}}とBの和集合。
B'∪{{}}={{},b,φ(b)=c,φ(φ(b))=φ(c)=d,…}

φを決めなおす。
φ(B'∪{{}})={b,c,d,…}
　φ({})=b
　φ(b)=c
　φ(c)=d
　φ(…)=…
　…

φ(φ(B'∪{{}}))={c,d,…}
φ(φ({}))=c
φ(φ(b))=d
φ(φ(…))=…
　…
B'∪{{}}={{},φ({})=b,φ(φ({}))=φ(b)=c,φ(φ(φ({})))=φ(φ(b))=φ(c)=d,…}

ZからB'を除いた集合Z\B'={a,…}
{}のおき場所はaからφを伝って前へいく先には無い。

Z\B'と B'∪{{}}の和集合。
Z\B'∪B'∪{{}}=Z∪{{}}={a,{},b,c,d,…}
φを決めなおす。
φ(Z∪{{}})={a,{},b,c,d,…}
　…
　Φ(…)=a
　φ(a)={}
　φ({})=b
　Φ(b)=c
　Φ(c)=d
　Φ(…)=…
　…

もう1回写像Φ()する。
Φ(Φ(Z∪{{}}))={a,{},b,c,d,…}={Φ(φ(…))=φ(…)=a,Φ(φ(…))=φ(a)={},Φ(Φ(a))=φ({})=b,Φ(Φ({}))=φ(b)=c,Φ(Φ(b))=Φ(c)=d,φ(Φ(…))=Φ(…)=…}
　…
　Φ(Φ(…))=Φ(…)=a
　Φ(Φ(…))=Φ(a)={}
　Φ(Φ(a))=Φ({})=b
　Φ(Φ({}))=Φ(b)=c
　Φ(Φ(b))=Φ(c)=d
　Φ(Φ(…))=Φ(…))=…
　…
Z∪{{}}=φ(Z∪{{}})=φ(φ(Z∪{{}}))…

「Zのφに関する{0}の連鎖」

Z∪{{}}の（φに関する）連鎖であるもの。
　 …
　{a,{},b,c,d,…}
　{{},b,d,…}
　{b,d,…}
　…

かつ{0}={{}}を部分集合として含むもの
　…
　{a,{},b,c,d,…}
　{{},b,d,…}

　連鎖B'={b,d,…}に{}=0は属さない。
　油断すると属してしまうが、がまんする。
　さっき自問自答の末結論した。
　だめ。ゼッタイ。属さない。

全体からなる集合の共通部分
…∩{a,{},b,c,d,…}∩{{},b,d,…}={{},b,d,…}

を（φに関する）{0}の連鎖と定義する。
基礎要素は{}=0

「Zのφに関する{0}の連鎖」は{0,1,c,…}です。
正解ですか?

回答No.6

tmpname

正直言って、飛び石がどうのとかの所は、何をおっしゃいたいのか良く分からなかったのでその部分は放っておいたのですが、続きのコメントについて：

> 'するってどういうことですか?
これが、『（φに関する）Aの連鎖A'はA⊂A'を満たし、』のA'のことを言っているのなら、これは『（φに関する）Aの連鎖をA'と今書くことにすると、A'はA⊂A'を満たし、』という意味です。

> たぶん、包含関係の記号の向きが誤っていて、A'⊂Aと書きたかったはず。
違います。A⊂A'、つまりA'（Aの連鎖）がAを含む（逆はかならずしも成立しない）。

もう一度書きますが、A' （Aの連鎖）というのは、
『（φに関する）連鎖であって、かつAを部分集合として含むもの」全体からなる集合の共通部分』
です。つまり、『Aを部分集合として含み、かつそれ自身が（φに関する）連鎖になっているもの』全てを洗いだした後、その洗いだした全ての集合に共通に含まれているものがAの連鎖です。これは当然Aを含みます。
＊一応補足しておきますが、少なくともSは『Aを部分集合として含み、かつそれ自身が（φに関する）連鎖になっているもの』なので、『Aを部分集合として含み、かつそれ自身が（φに関する）連鎖になっているもの』というのは必ず1つはあります。

因みに、今までに従って集合Aの連鎖をA'と書くことにすれば、(A')' = A'です（つまり、2回するともう変わらない）。

お礼

回答ありがとうございます
no.6,7の回答を読みました。
下記を正しいとします。
>A⊂A'、つまりA'（Aの連鎖）がAを含む（逆はかならずしも成立しない）。
その上で、読み返します。
すごくたのしいです。

補足

私も始めに質問の14,15行目で書いていました。

§4-37
「もしK'⊂Kならば、Kを「連鎖」という。」

上記は、回答者様と同じことを言っています。
私が誤解したのは、　K'を「連鎖」という。　ということでした。

回答のお手間をかけさせてしまい
まことに申し訳ありませんでした。

ひとつ私の誤解が解けました。
ありがとうございます。
ありがとうボタンを押してみます。

回答No.5

tmpname

もうひとつだけ書いておく。
繰り返しますが、

集合Sが単純無限とは、次のことを満たすことである。
あるSからSへの写像φと、Sの要素a (a∈S)が存在し、以下を満たす。
A. a ∉φ(S)。これは、「φ(z)=aとなるSの要素zは存在しない」というのと同じ。
B φは単射
C Sは（φに関する）{a}の連鎖
この時、 aは（Sのφに関する）基礎要素といい、またφはSを順序付けるという。

で、上のCが特に分りにくいので、一つ命題をしめしておきます。

集合Sが単純無限で、φがSを順序づけており、またaがSのφに関する基礎要素であるとする。
この時、{a}を含む任意の連鎖は、Sに一致する。
言い換えると、以下の事が成り立つ。
Sの部分集合Aが以下の2つの性質を満たすとする。
＊a∈A
＊φ(A)⊂A。つまり、「任意のSの要素zについて、zがAに属するならφ(z)もAに属する」
この時AはSに一致する。

[証明]
Aは連鎖であって{a}を含むので、{a}の連鎖（={a}を含む連鎖全体の共通部分）はAの部分集合である（なぜなら「{a}を含む連鎖」の一つがAだから）
今（aは基礎要素であるから）{a}の連鎖はSであり、つまりSはAの部分集合である。一方AはSの部分集合だから、これはS=Aを意味する[証明終]

この命題と数学的帰納法とを比べてみましょう（イメージとしては、φ(z)は「zの次に続く数」です）

お礼

回答ありがとうございます。連鎖わかりました。
no.6に補足コメントを書き込んだ後のコメントです。
Z={a,b,c}
1)外に出るタイプ

写像Φ()する。
Φ(Z)={b,c,d}={Φ(a)=b,Φ(b)=c,Φ(c)=d}
　Φ(a)=b
　Φ(b)=c
　Φ(c)=d

もう1回写像Φ()する。
Φ(Φ(Z))={c,d,e}={Φ(Φ(a))=c,Φ(Φ(b))=d,Φ(Φ(c))=e}
　Φ(Φ(a))=Φ(b)=c
　Φ(Φ(b))=Φ(c)=d
　Φ(Φ(c))=Φ(d)=e

もう1回写像Φ()する。
Φ(Φ(Φ(Z)))={d,e,f}={Φ(Φ(Φ(a)))=d,Φ(Φ(Φ(b)))=e,Φ(Φ(Φ(c)))=f}
　Φ(Φ(Φ(a)))=Φ(Φ(b))=Φ(c)=d
　Φ(Φ(Φ(b)))=Φ(Φ(c))=Φ(d)=e
　Φ(Φ(Φ(c)))=Φ(Φ(d))=Φ(e)=f

dとか、eとか、fは始めの集合の外に出てしまうのでだめ。

2)3個でループするタイプ
写像Φ()する
Φ(Z)={b,c,a}={Φ(a)=b,Φ(b)=c,Φ(c)=a}
　Φ(a)=b
　Φ(b)=c
　Φ(c)=a

もう1回写像する
φ(Φ(Z))={c,a,b}={Φ(Φ(a))=c,Φ(Φ(b))=a,Φ(Φ(c))=b}
　Φ(Φ(a))=Φ(b)=c
　Φ(Φ(b))=Φ(c)=a
　Φ(Φ(c))=Φ(a)=b

もう1回写像する
φ(φ(Φ(Z)))={a,b,c}={Φ(Φ(Φ(a)))=a,Φ(Φ(Φ(b)))=b,Φ(Φ(Φ(c)))=c}
　Φ(Φ(Φ(a)))=Φ(Φ(b))=Φ(c)=a
　Φ(Φ(Φ(b)))=Φ(Φ(c))=Φ(a)=b
　Φ(Φ(Φ(c)))=Φ(Φ(a))=Φ(b)=c

aとbとcがφ1回ずれてまわる。
だめではないが…

3)要素がなくなっていくタイプ
写像Φ()する。
Φ(Z)={b,c}={Φ(a)=b,Φ(b)=c,Φ(c)={}}
　Φ(a)=b
　Φ(b)=c
　Φ(c)={}

もう1回写像Φ()する。
Φ(Φ(Z))={c}={Φ(Φ(a))=c,Φ(Φ(b))={}}
　Φ(Φ(a))=Φ(b)=c
　Φ(Φ(b))=Φ(c)={}

もう1回写像Φ()する。
Φ(Φ(Φ(Z)))={}={Φ(Φ(Φ(a)))={}}
　Φ(Φ(Φ(a)))=Φ(Φ(b))=Φ(c)={}

要素がなくなってしまってだめ。

4)自分自身に行くタイプ
写像Φ()する。
Φ(Z)={a,b,c}={Φ(a)=a,Φ(b)=b,Φ(c)=c}
　Φ(a)=a
　Φ(b)=b
　Φ(c)=c
もう1回写像する
φ(Φ(Z))={a,b,c}={Φ(Φ(a))=a,Φ(Φ(b))=b,Φ(Φ(c))=c}
　Φ(Φ(a))=Φ(a)=a
　Φ(Φ(b))=Φ(b)=b
　Φ(Φ(c))=Φ(c)=c

aとbとcが異なると考えていたけれど、
φについて区別がつかなくて、aが1個で済む。
要素が無限個ほしいのでだめ。

Z={a,b,c,d,e,f}

5)3個でループするループが2個タイプ
写像Φ()する
Φ(Z)={b,c,a,e,f,d}={Φ(a)=b,Φ(b)=c,Φ(c)=a,Φ(d)=e,Φ(e)=f,Φ(f)=d}
　Φ(a)=b
　Φ(b)=c
　Φ(c)=a
　Φ(d)=e
　Φ(e)=f
　Φ(f)=d

もう1回写像する
φ(Φ(Z))={c,a,b,f,d,e}={Φ(Φ(a))=c,Φ(Φ(b))=a,Φ(Φ(c))=b,Φ(Φ(d))=f,Φ(Φ(e))=d,Φ(Φ(f))=e}
　Φ(Φ(a))=Φ(b)=c
　Φ(Φ(b))=Φ(c)=a
　Φ(Φ(c))=Φ(a)=b
　Φ(Φ(d))=Φ(e)=f
　Φ(Φ(e))=Φ(f)=d
　Φ(Φ(f))=Φ(d)=e

もう1回写像する
φ(φ(Φ(Z))))={a,b,c,d,e,f,}={Φ(Φ(Φ(a)))=a,Φ(Φ(Φ(b)))=b,Φ(Φ(Φ(c)))=c,Φ(Φ(Φ(d)))=d,Φ(Φ(Φ(e)))=e,Φ(Φ(Φ(f)))=f}
　Φ(Φ(Φ(a)))=Φ(Φ(b))=Φ(c)=a
　Φ(Φ(Φ(b)))=Φ(Φ(c))=Φ(a)=b
　Φ(Φ(Φ(c)))=Φ(Φ(a))=Φ(b)=c
　Φ(Φ(Φ(d)))=Φ(Φ(e))=Φ(f)=d
　Φ(Φ(Φ(e)))=Φ(Φ(f))=Φ(d)=e
　Φ(Φ(Φ(f)))=Φ(Φ(d))=Φ(e)=f

φについてa=d,b=e,c=fで区別がつかない。
結局3個でループするタイプと同じ。
要素が無限個ほしいのでだめ。

異なる要素が無限個あるとして
Z={a,b,c,d,e,f,…}

6)素数個でループするループが無限個あるタイプ

写像Φ()する
Φ(Z)={a,c,b,e,f,d,…}={Φ(a)=a,Φ(b)=c,Φ(c)=b,φ(d)=e,φ(d)=f,φ(e)=d,φ(…)=…}
　Φ(a)=a
　Φ(b)=c
　Φ(c)=b
　Φ(d)=e
　Φ(e)=f
　Φ(f)=d
　Φ(…)=…

もう1回写像する
φ(Φ(Z))={a,b,c,f,d,e,…}={Φ(Φ(a))=Φ(a)=a,Φ(Φ(b))=φ(c)=b,Φ(Φ(c))=φ(b)=c,Φ(Φ(d))=Φ(e)=f,Φ(Φ(e))=Φ(f)=d,Φ(Φ(f))=Φ(d)=e,φ(φ(…))=φ(…)=…}
　Φ(Φ(a))=Φ(a)=a
　Φ(Φ(b))=Φ(c)=b
　Φ(Φ(c))=Φ(b)=c
　Φ(Φ(d))=Φ(e)=f
　Φ(Φ(e))=Φ(f)=d
　Φ(Φ(f))=Φ(d)=e
　φ(φ(…))=φ(…)=…

aの1個ループ、bとcの2個ループ、dとeとfの3個ループ、素数個ループが無限個まわる。
だめかどうかわからない。とりあえず、これは考えない。

7)6)ではないタイプ

写像Φ()する。
Φ(Z)={a,b,c,d,…}={Φ(…)=a,Φ(a)=b,Φ(b)=c,Φ(c)=d,Φ(…)=…}
Φ(…)=a
Φ(a)=b
Φ(b)=c
Φ(c)=d
Φ(…)=…

もう1回写像Φ()する。
Φ(Φ(Z))={a,b,c,d,e,…}={Φ(φ(…))=φ(…)=a,Φ(φ(…))=Φ(φ(a))=b,Φ(Φ(a))=c,Φ(Φ(b))=d,Φ(Φ(c))=e,φ(Φ(…))=Φ(…)=…,φ(Φ(…))=Φ(…)=…}
Φ(Φ(…))=Φ(…)=a
Φ(Φ(…))=Φ(a)=b
Φ(Φ(a))=Φ(b)=c
Φ(Φ(b))=Φ(c)=d
Φ(Φ(c))=Φ(d)=e
Φ(Φ(d))=Φ(e))=…
Φ(Φ(e))=Φ(…))=…
Φ(Φ(…))=Φ(…))=…

Z=φ(Z)=φ(φ(Z))…

が連鎖である。と、の連鎖である。
を区別して読む。

i)Zの部分集合Sが（φに関する）連鎖であるとは、φ(S) ⊂ Sを満たす事をいう。

集合Zの部分集合として集合Sを取ってくる
部分集合Sにφのつながらない穴があってはだめ。
S={a,c,d,…}
SからSへの写像φがbでだめ。
φ(S)={b,d,…}={φ(a)=b,φ(c)=d,φ(…)=…}
φ(S)には要素bが属するのに、Sには要素bが属さない。
φ(S)はSの部分集合ではない。
φ(S)￢⊂S
Zの部分集合Sが（φに関する）連鎖ではない

φに穴が無いように、集合Sを取ってくる
S={b,c,d,…}　
SからSへの写像φがある。
φ(S)={c,d,…}={φ(b)=c,φ(c)=d,φ(…)=…}
φ(S)⊂S
Zの部分集合Sが（φに関する）連鎖である。

φで始まりがあって一方通行に無限につながってる要素たちの集合が連鎖

ii)Zの部分集合B={b}について、
（φに関する）連鎖であって、
　連鎖であるようなたくさんの部分集合がある。
　{a,b,c,…}とか、{b,c,d,…}とか、{d,e,f,…}とか。

　要素1個の集合は連鎖ではない。
　B={b}
　φ(B)=φ({b})={c}
　φ(B)￢⊂B
　Bに属さない要素cがφ(B)に属しているため。
　Bは連鎖ではない。

　有限個の集合は連鎖ではない。
　C={a,b,c}
　φ(C)=φ({a,b,c})={b,c,d}
　φ(C)￢⊂C
　Cに属さない要素dがφ(C)に属しているため。
　Cは連鎖ではない。

かつBを部分集合として含むもの
　{a,b,c,…}とか、{b,c,d,…}　
　{d,e,f,…}はだめ。

全体からなる集合の共通部分
　{a,b,c,…}∩{b,c,d,…}={b,c,d,…}　　

を（φに関する）Bの連鎖と定義する。
　B={b}
　Bの連鎖={b,c,…}
　基礎要素はb

Zから飛び飛びに要素を取ってきても、aとcとdの根元の方が基礎要素になる。
Zの部分集合D={a,c,d}について
　Dの連鎖={a,b,c,…}
　基礎要素はa

「Zのφに関する{0}の連鎖」
Zの部分集合A={a}とると
　Aの連鎖={a,b,c,…}
　基礎要素はa
　aを1と名づける。
　A={a}={1}の連鎖={1,2,3,…}
　1から始まってしまう。

Zの部分集合E={}を取ってくると　　
連鎖の始まりが捕まらなくて、{}の連鎖が作れません。

回答No.4

tmpname

うーん...
＊集合Aから集合Bへの「写像」φというのは、Aのそれぞれの要素（元）に対して、Bのある要素（元）を対応づけるものです。だから、φが集合Aから集合Bへの写像、といった時、φ()の括弧の中に入るのはAの元。
＊で、あくまでそうなんですが、数学ではAの部分集合Sについて、Sの元を全部φで写して出来た集合を考えたい時があって、それを「Sのφによる像」というのですが、これに対しても（面倒くさいから）同じ記号を流用してφ(S)と書いてしまえ、という訳です。だから、ものの本によってはこの場合φ[S]と書いたり、φ''Sと書いていたりする。

さて、
> あと、元に戻っちゃう場合
> φ(φ(φ(x)))=φ(x)
> も、単射なら大丈夫な気がします。
ああ、確かに単射というだけでは直ちにだめにはなりませんね。すみません。
ただし、Sが単純無限の場合は、それは許されません。

[証明]
というのは、Sの基礎要素をaとすると、「a∉φ(S) 」というのはφ(z)=aとなるzはない、という意味です。
さて、φ(φ(φ(x)))=φ(x)なるxがあるとすると、φは単射だから x = φ(φ(x))。よってφ(x) = yとおくと、xはaでなく、yもaでない。又φ(y) = x。

今、S自身はSの（φに関する）連鎖ですが、S\{x, y} （つまりSからxとyを取り除いた集合）も（φに関する）連鎖になる。
＊なぜならS\{x, y} の元zは、φ(z)≠xである（これは、φ(y) = xである一方、zはS\{x, y} の元だからz≠yであって、φは単射だからφ(z)≠φ(y) = x）。同様にφ(z)≠yであって、従って、φ(z)∈S\{x, y} となる。つまりφ(S\{x, y})⊂S\{x, y}である。

さて、S\{x, y} （つまりSからxとyを取り除いた集合）は今連鎖である事が分かったが、これはaを含む（何故ならaはxともyとも等しくない）。従って、{a}の連鎖（＝{a}を含む連鎖全体の共通部分）はxとyを含まない。一方aはSの基礎要素だったから、{a}の連鎖はSであって、xとyを含むこととなり、矛盾する[証明終]

要は、Sが単純無限で、SからSへの単射φがSを順序づけている場合、φにはそうした「くるっと循環する」構造は許されない。そうすると、Sは（今まさに無限とは何かを定義しているのですが）「無限集合でないといけない」というのが分かってくると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

'するってどういうことですか?
no.1の回答の6行目の抜粋

>注：この定義から、（φに関する）Aの連鎖A'は、A⊂A'を満たし、かつA'は（φに関する）連鎖となる。

とあります。たぶん、包含関係の記号の向きが誤っていて、
A'⊂Aと書きたかったはず。

回答者さまは本当は
　誤　A⊂A'
　正　A'⊂A
と書きたかったですか?

'することがわからなくて、
例えば集合D={a,b,c,d}がある
⊂が左のが右の部分集合。

D'⊂D だったら、
D'はいくつか候補があって、
D'={b,c,d}のときと、{a,c,d}のときと、{a,b,d}のときと、{a,b,d}のときと、{a,b}のときと、{a,c}のときと、
{a,d}のときと、{b,c}のときと、{b,d}のときと、{c,d}のときと、{a}のときと、{b}のときと、{c}のときと、{d}
のときと、{}のときがあります。

D'⊂Dを両方'しても、⊂がそのままだったら、
D''⊂D'です。

もし、D'={b,c,d}だったら、
D''はいくつか候補があって、
D''={b,c}のときと、{b,d}のときと、{c,d}のときと、{c}のときと、{d}のときと、{}のときがあります。

D''⊂D'を両方'しても、⊂がそのままだったら、
D'''⊂D''です。
もし、D''={c,d}だったら
D'''はいくつか候補があって、
D'''={c}のときと、{d}のときと、{}のときがあります。

D'''⊂D''を両方'しても、⊂がそのままだったら、
D''''⊂D'''です。
もし、D'''={d}だったら
D''''={}です。

D''''⊂D'''を両方'しても、⊂がそのままだったら、
D'''''⊂D''''です。
D'''''={}⊂D''''={}です。

…D'''''⊂D''''⊂D'''⊂D''⊂D'⊂D
は
…{}⊂{}⊂{d}⊂{c,d}⊂{b,c,d}⊂{a,b,c,d}

…{}⊂{}⊂{d}⊂{c,d}⊂{a,b,c,d}
みたいに途中たとえば{b,c,d}が抜ける場合があると思います。

抜けないためにφ()があるんだと思います。

もう一回はじめからから読んでみます。

回答No.3

tmpname

ああ、実はひょっとしたらと思ったのですが、つまり一般に
「fを集合Aから集合Bへの写像とした時、Aの部分集合Sに対するf(S)の定義」
が分かってないのですね？
これは、
「Bの要素zの中で、あるSの要素xがあってz=f(x)と書けるようなz全てを集めた集合」
です。

例として、Zを0以上の整数からなる集合、ZからZへの写像fを f(x) = 2xで定義すると、
＊例えばf(3) = 6, f(4) = 8ですが、
＊f({3,4}) = {6,8}であって、
＊f({1,2,5}) = {2,4,10}であって、
＊f(Z)というのは0以上の偶数全体からなる集合
になります。

よって、
> Sの部分集合Kが（φに関する）連鎖であるとは、φ(K) ⊂ Kを満たす事をいう。
というのは、

「Sの部分集合Kが（φに関する）連鎖であるとは、任意のx∈Kに対して、φ(x)∈Kを満たすことである」

ということですから、これから
「x∈Kならφ(x), φ(φ(x)), φ(φ(φ(x))), φ(φ(φ(φ(x)))),... が全てKに属する」
ということで、鎖っぽくなってませんか？特にφが単射なら、x, φ(x), φ(φ(x)), φ(φ(φ(x))), φ(φ(φ(φ(x)))),..は全て異なるSの要素で、より鎖っぽくなります。

お礼

回答ありがとうございます。
取り急ぎ、no.4,5の回答を読みました。
のでお礼コメントします。

Z={…,a,b,c,…,x,y,…}とします。
φをZからZへの写像とします。
そしてそれは下記のようなものです。
　φ(Z)=Z
　　…
　　φ(左側の…の中からどれか1個)=a
　　φ(a)=b
　　φ(b)=c
　　φ(c)=中央の…の中からどれか1個
　　φ(中央の…の中からどれか1個と別の1個)=x
　　φ(x)=y
　　φ(y)=右側の…の中からどれか1個
　　…
　　φ(φ(左側の…の中からどれか1個と別の1個))=a
　　φ(φ(左側の…の中からどれか1個)=b
　　φ(φ(a))=c
　　φ(φ(b))=中央の…の中からどれか1個と別の1個とも別の1個
　　φ(φ(c))=中央の…の中からどれか1個と別の1個と別の1個とも別の1個
　　φ(φ(中央の…の中からどれか1個と別の1個))=x
　　φ(φ(中央の…の中からどれか1個)=y
　　φ(φ(x))=右側の…の中からどれか1個
　　φ(φ(y))=右側の…の中からどれか1個と別の1個
　　…
　　…
　　φ(…φ(a)…)=右側の…の中からどれか1個…とも別の1個
　　φ(…φ(左側の…の中からどれか1個…とも別の1個)…)=a

　ずーっと続く飛び石の上全部に人が一人づつ乗っていて、
　各々の人がつぎつぎに隣の石へ飛びうつり、
　そのスピードが、ぴょぴょぴょ…とすごく速い。
　全部の飛び石から、全部の人へ関係がある。
　全部の人から全部の飛び石に関係がある。
　飛び石が英字、人が数、飛び移りがφ()

Zから部分集合Kを取り出します。
K={a,b,c,…,x,y,…}
φ()はZのときに処理が終わっています。
φ(K)={φ(a),φ(b),φ(c),…,φ(x),φ(y),…}
　φ(a)=b
　φ(b)=c
　φ(c)=中央の…の中からどれか1個
　φ(中央の…の中からどれか1個とも別の1個)=x
　φ(x)=y
　φ(y)=右側の…の中からどれか1個
　…
　φ(φ(a))=c
　φ(φ(b))=中央の…の中からどれか1個と別の1個とも別の1個
　φ(φ(c))=中央の…の中からどれか1個と別の1個と別の1個とも別の1個
　φ(φ(中央の…の中からどれか1個と別の1個))=x
　φ(φ(中央の…の中からどれか1個)=y
　φ(φ(x))=右側の…の中からどれか1個
　φ(φ(y))=右側の…の中からどれか1個と別の1個
　…
　…
　φ(…φ(a)…)=右側の…の中からどれか1個…とも別の1個

φ(K)={b,c,…,x,y,…}⊂Kです。

Kの要素の個数より、φ(K)の個数が1個少ないってことで、
写像の()のなかに集合を入れたら、同じ要素数の集合が
でるはず。単写だから。
まず、ここで誤りです。
無理やり先に行きます。
a ∉φ(K)です。

Zから部分集合Aを取り出します。
A={a}
φ()はZのときに処理が終わっています。
φ(A)={φ(a),…}
　φ(a)=b
　φ(φ(a))=c
　…
　φ(…φ(a)…)=右側の…の中からどれか1個…とも別の1個

φ(A)={φ(a),…}={b,c,…,x,y,…}

Aの連鎖A'はA={a}とφ(A)={b,c,…,x,y,…}の共通部分
A'=A∩φ(A)={a}∩{b,c,…,x,y,…}={}

{}を0とする。

Zから部分集合Bを取り出します。
B={a,b}
φ()はZのときに処理が終わっています。
φ(B)={φ(a),φ(b),…}
　φ(a)=b
　φ(b)=c
　φ(φ(a))=c
　φ(φ(b))=右側の…の中からどれか1個　　
　…
　φ(…φ(a)…)=右側の…の中からどれか1個…とも別の1個

φ(B)={φ(a),φ(b),…}={b,c,…,x,y,…}

Bの連鎖B'はB={a,b}とφ(B)={b,c,…,x,y,…}の共通部分
B'=B∩φ(B)={a,b}∩{b,c,…,x,y,…}={b}

{b}を1とする。

Zから部分集合Cを取り出します。
C={a,b,c}
φ()はZのときに処理が終わっています。
φ(C)={φ(a),φ(b),φ(c)…}
　φ(a)=b
　φ(b)=c
　φ(c)=右側の…の中からどれか1個
　φ(φ(a))=c
　φ(φ(b))=右側の…の中からどれか1個と別の1個　
　φ(φ(c))=右側の…の中からどれか1個と別の1個とも別の1個
　…
　φ(…φ(a)…)=右側の…の中からどれか1個…とも別の1個

φ(C)={φ(a),φ(b),φ(c)…}={b,c,…,x,y,…}

Cの連鎖C'はC={a,b,c}とφ(C)={b,c,…,x,y,…}の共通部分
C'=C∩φ(C)={a,b,c}∩{b,c,…,x,y,…}={b,c}

{b,c}を2とする。

要素aは何してるんだろ。
まだ、写像がわかってないです。

読みかえして、考えてみます。

目標は「Zのφに関する{0}の連鎖」の理解です。
写像、連鎖、文字でなく、数0を{}に入れた{0}、の3点がわかってないです。
全部わかってないですな。うはは、おもしろいです。

回答no.4,5も1,2,3と同様に
よく読んだら理解できそうな気がするので
おそらく、すばらしいものです。

読んだということでお礼コメントいたします。

回答No.2

tmpname

最後は
「Zのφに関する{0}の連鎖」
です。

お礼

回答ありがとうございます。
no.3の回答を読みました。

(1)φ()について、
()の中に要素1個が入ると、要素1個が出てくる。
()の中に要素1個の集合が入ると、要素1個の集合が出てくる。
()の中に要素複数個の集合が入ると、要素複数個の集合が出てくる。
です。

要素1個の集合を、集合と呼ぶか、要素と呼ぶか、何とかしてみます。
単集合と呼ぶといいみたいです。
集合の中のものをとってきたとき要素と呼ぶとよさそうです。

要素複数個が入った場合は、何もおこらなそうです。
でも、要素1個の集合たちに分けるとよさそうです。
何とかなりそうです。

(2)あと、元に戻っちゃう場合
φ(φ(φ(x)))=φ(x)
も、単写なら大丈夫な気がします。
もしかしたら別ルールで禁止があるかもしれません。

(3)あと、途中から始めちゃった場合
｛a,b,c,d｝
φ(b)=c
φ(φ(b))=d
のとき、aはどうしようかとおもいますが
始めの集合に要素が無限個あれば無視すれば大丈夫な気がします。

もしかしたら、
とにかく全部φ()されて、残りは出ないのかもしれません。
φ(φ(φ(b))=a
でbを1とする。

だいぶわかってきました。
もっと、考えてとりまとめてみます。

すばらしいです。