Uを空でない集合、sを写像 s:U→Uとする。U上

質問

Uを空でない集合、sを写像 s:U→Uとする。U上の関係≦を、
(a) x ≦ x
(b) x ≦ y ならば x ≦ s(y)
を満たす最小の関係と定める。次のア、イ、ウについて
ア：s(x)≦yならば、x≦yである。
イ：x ≦yかつy≦zならば、x≦zである。
ウ：s(x)≦s(y)ならば、x≦yである。
常に成り立つものはアとイだそうですが、その理由がわかりません。どなたか教えて下さいませんか。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

Uを空でない集合,
sを写像s:U→U
s^0(x)=xとする
R={(x,y)∈U×U;y=s^n(x)となる非負整数nがある}
とする
(x,y)∈R
とする
y=s^n(x)となる非負整数nがある
n=0の時(a)から
x≦x=s^0(x)だから
x≦s^0(x)が成り立つ
ある非負整数kに対して
x≦s^k(x)が成り立つと仮定すると
(b)から
x≦s^(k+1)(x)
が成り立つから
すべての非負整数nに対して
x≦s^n(x)
が成り立つから
x≦s^n(x)=y
∴Rのすべての要素(x,y)に対して
x≦y
が成り立つから

U上の関係≦を
x≦y　←→ (x,y)∈R
と定義すれば
(a)
(x,x)∈R→x≦x
(b)
x≦y→(x,y)∈R→∃n(y=s^n(x))→s(y)=s^(n+1)(x)→(x,s(y))∈R→x≦s(y)
を満たす
最小関係となる

(ア)
s(x)≦y
ならば
(s(x),y)∈R
だから
y=s^n(s(x))=s^(n+1)(x)
となる非負整数nがあるから
(x,y)∈R
だから
x≦y
が成り立つ

(イ)
x≦yかつy≦zならば
(x,y)∈R,かつ,(y,z)∈R
だから
y=s^n(x),z=s^m(y)
となる非負整数m,nがあるから
z=s^m(y)=s^m(s^n(x))=s^(m+n)(x)
だから
(x,z)∈R
だから
x≦z
が成り立つ

お礼

分かりやすかったです。ありがとうございました。