連鎖ってどういうことですか?
連鎖を理解したいです。
リンク先のページに下記のようにありました。
リンク先http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20080918/p1
--------引用します---------------
岩波文庫「数について」{デーデキント著 河野伊三郎訳} §1-2
あらゆる言葉の中から、いちばんの基礎になると数学者が考えたのは、
「集合」、「要素」、「含まれる」、「写像」
の4つでした。
§4-36
「もしφが集合Sの相似な、または相似でない写像で、φ(s)が集合Zの部分集合ならば、φをSのZの「中へ」の写像と呼び、SはφによってZの中へ写像されたという。従って、もしφ(s)⊂Sならば、φを集合Sの「自分自身の中への」写像と呼び、本節ではこのような写像φの一般的法則を研究したい。・・・」
§4-37
「もしK'⊂Kならば、Kを「連鎖」という。」
§6-71
「一つの集合Nは、Nを自分自身の中へ写す相似写像が存在して、その結果Nが、φ(N)に含まれない一つの要素の連鎖とし て現れてくるとき、「単純無限」と呼ぶ。この要素を以下には記号１で表すことにしたい。これをNの「基礎要素」と呼び、同時に単純無限集合はこの写像φに よって「順序づけられる」という。・・・」
--------引用終わり---------------
0と自然数が全部入った無限集合Zから始めます。
でも、数たちがどれがどれかわからないのでa,b,c,…,x,yとします。
(1)
Z={a,b,c,…,x,y}とします。
写像φ()は{}をつけることだとします。
写像φ(Z)={Z}=Z'とすると
{Z}=Z'={{a,b,c,…,x,y}}
Zが広がっていきます。
{Z}={{a,b,c,…,x,y}}=Z'￢⊂Zです。(真部分集合でないことを表現する記号がでないので￢⊂とします。)
{Z}={{a,b,c,…,x,y}}=Z'⊃Zです。
連鎖でないです。
広がっていってしまうと、1にたどり着かないです。
誤っています。
連鎖で狭めていって、最後に1にたどり着くはず。と考えています。
(2)
写像φ()は()の中の集合から、要素を1つ、除いた集合とします。
Z={a,b,c,…,x,y}とします。
写像φ(Z)={b,c,…,x,y}=Z'
写像φ(Z')={c,…,x,y}=Z''
繰り返していって
写像φ(Z''…')={y}=Z''…''
すると
φ(Z''…')={y}=Z''…''⊂…⊂φ(Z')={c,…,x,y}=Z''⊂φ(Z)={b,c,…,x,y}=Z'⊂Z={a,b,c,…,x,y}
なので連鎖のように思います。
それで、φ(Z''…')={y}=Z''…''を最後の1個として、1とします。
もう1回写像φ()すると
写像φ(Z''…'')={}=Z''…'''を0とします。
Zを写像φ()するつまり、'すると、次の数でなくて、前の数になります。
誤っています。
、
または、残ったもののほうを考えてみます。
(3)
写像φ()は()の中の集合から、要素を1つ、除いた集合とします。
Z={a,b,c,…,x,y}
写像φ(Z)={b,c,…,x,y}
'することをZから何回かZを写像φ()して除いたものとします。
Z-写像φ(Z)={a,b,c,…,x,y}-{b,c,…,x,y}={a}=Z'
Z-写像φ(写像φ(Z))={a,b,c,…,x,y}-{c,…,x,y}={a,b}=Z''
繰り返していって
Z-写像φ(…写像φ(Z)…)={a,b,c,…,x,y}-{y}={a,b,c,…,x}=Z''…''
Z-写像φ(…写像φ(写像φ(Z))…)={a,b,c,…,x,y}-{}={a,b,c,…,x,y}=Z''…'''=Z
これなら
Z-写像φ(Z)={a}=Z'⊂Z-写像φ(写像φ(Z))={a,b}=Z''⊂…⊂Z-写像φ(…写像φ(Z)…)={a,b,c,…,x}=Z''…''⊂Z-写像φ(…写像φ(写像φ(Z))…)={a,b,c,…,x,y}=Z''…'''=Z
Zから写像φ(Z)を除いて残った{a}を1とします
Zから写像φ(写像φ(Z))を除いて残った{a,b}を2とします
とすると、
Zから写像φ()をしないでZを除いて残った{}を0とします。
Z'⊂Zは成り立ちますが
Z'⊂Z''⊂…⊂Z''…''⊂Z
なので連鎖じゃないような感じがします。
Z''…''の次の数がZになって''…''がなくなってしまいます。
誤っています。
うまい説明はないでしょうか?
補足
上記解説は形式的な式変形モドキだけで証明になっていません。