{ax+by|x,y∈Z}

質問

aとbが互いに素とは限らないときは、{ax+by|x,y∈Z}は、aとbの最大公約数の倍数全体の集合になる。この定理の証明でわからない点があるので質問します。
これらの定理は、S={ax+by|x,y∈Z}とおくと集合Sが"差に関して閉じている"という性質をもつ。
(x_1,x_2,y_1,y_2∈Zのとき、(ax_1+by_1)-(ax_2+by_2)=a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)ここでx_1-x_2,y_1-y_2∈Zとなること)ので、ある正の整数dを用いてS={nd|n∈Z}(Sはdの倍数全体)と表されるのであるが、
Sの最初の定義から、a∈S(x=1,y=0とする)かつb∈S(x=0,y=1とする)であるから、aとbはdの倍数(dはa,bの公約数)であり、・・・(1)
ここからがわからないところです。他方、ax_0+by_0=dとなる整数x_0,y_0が存在するのだから、a,bの任意の公約数はdの約数であるから・・・(2)、dはa,bの最大公約数というわけである。で証明は終わるのですが、
証明の大まかな流れは、(1)よりd≦(a,b)　(a,b)は、aとｂの最大公約数、(2)よりd≧(a,b)よって、d=(a,b)だと思うのですが、ax_0+by_0=dをa'dx_0+b'dy_0=dとしてみたりしても、a,bの任意の公約数はdの約数であるから、というのがわかりません。どなたか、他方、ax_0+by_0=dとなる整数x_0,y_0が存在するのだから、a,bの任意の公約数はdの約数である。を説明してください。お願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

> 他方、ax_0+by_0=dとなる整数x_0,y_0が存在するのだから、a,bの任意の公約数はdの約数である。を説明してください。

代数学の基礎の内容で、代数学の本なら絶対書いてある内容なので、一度適当な本を読むことをお薦めしますが、取り敢えず

a, bの任意の公約数 c を取ると、cは整数で、ある整数m, nがあって a = mc, b = ncと書けるが、これより d = a x_0 + b y_0 = c (m x_0 + n y_0)となるから明らかに cはdを割り切る。

お礼

代数学の分野に載っているという紹介ありがとうございます。a,bの公約数をcとおく考えも新しいものでした。ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

参考URL
　↓ 一次不定方程式ax+by=cの整数解

参考URL：

https://mathtrain.jp/axbyc

お礼

参考URLを紹介してくださり、ありがとうございます。