積分

質問

v(ｔ)=mg/γ(1－e^－γt/m)
ｔについて積分してください。

回答No.3

jcpmutura

v(t)=mg/[γ(1-e^{-γt/m})]
の場合
1/(1-e^{-γt/m})
=[1-e^{-γt/m}+e^{-γt/m}]/(1-e^{-γt/m})
=1+{e^{-γt/m}/(1-e^{-γt/m})}
↓
∫{1/(1-e^{-γt/m})}dt
=∫[1+{e^{-γt/m}/(1-e^{-γt/m})}]dt
=∫dt+∫{e^{-γt/m}/(1-e^{-γt/m})}dt
=t+∫{e^{-γt/m}/(1-e^{-γt/m})}dt……(1)

x=1-e^{-γt/m}
とすると
e^{-γt/m}=1-x
dx=(γ/m)e^{-γt/m}dt
(m/γ)dx=e^{-γt/m}dt
{e^{-γt/m}/(1-e^{-γt/m})}dt={(m/γ)/x}dx
↓
∫{e^{-γt/m}/(1-e^{-γt/m})}dt
=∫{(m/γ)/x}dx
=(m/γ)∫(1/x)dx
=(m/γ)log|x|+c
=(m/γ)log|1-e^{-γt/m}|+c
これを(1)に代入すると
↓
∫{1/(1-e^{-γt/m})}dt=t+(m/γ)log|1-e^{-γt/m}|+c……(2)

∫v(t)dt
=∫mg/[γ(1-e^{-γt/m})]dt
=(mg/γ)∫{1/(1-e^{-γt/m})}dt
これに(2)を代入すると
↓
∫v(t)dt=(mg/γ){t+(m/γ)log|1-e^{-γt/m}|+c}
↓C=c(mg/γ)とすると
∫v(t)dt=(mg/γ)[t+(m/γ)log|1-e^{-γt/m}|]+C
↓通分すると
∫v(t)dt=mg[γt+mlog|1-e^{-γt/m}|]/γ^2+C
↓展開すると
∫v(t)dt=(gmt/γ)+g{(m/γ)^2}log|1-e^{-γt/m}|+C

回答No.2

info222_

この式の書き方
「v(ｔ)=mg/γ(1－e^－γt/m)」
は数学的に正しい式の解釈ができません。
回答者に正しい式が伝わるような書き方をしてくれないと、回答者が「質問者が考えている正しい式」に対する回答ができません。

・v(ｔ)=(mg/γ)(1－e^(－γt/m))
・v(ｔ)=mg/(γ(1－e^(－γt/m)))
のいずれかのような気がしますが、それ以外なら正しく伝わる式を書いてください。

上記の上の式の場合なら
∫ v(t) dt=(mg/γ){t+(m/γ)e^(-γt/m))+C
下の式の場合なら
∫ v(t) dt=(mg/γ) ∫ e^(γt/m)/((e^(γt/m))-1) dt
=(mg/γ) ∫ e^(γt/m)/((e^(γt/m))-1) dt
=(mg/γ)(m/γ) ∫ (e^(γt/m))' /((e^(γt/m))-1) dt
=g((m/γ)^2) log |(e^(γt/m))-1| + C
となります。

（注意）式の書き方が複数通りに解釈される恐れのある書き方をしないように（結果として正しい解答が複数通り生じる原因となりますから）。

回答No.1

bran111

比∫関数がよくわからないけど

∫dx/(a+be^cx)=[cx-log|a+be^(cx)|]/ac

が使えるだろう。

補足

答が分からないので教えてください