積分について

質問

ある参考書の単震動型の例題で以下のような説明がなされてました。

ばね定数kのばねの一端を壁に固定し、他端を質量mのおもり(●)に固定する。
x=0の位置(自然長)で、物体に右向きの初速度v0を与えた。時刻tにおける物体の位置x
と速度vを表せ。

壁側
|
| ----> v0
|---∧∧∧∧∧∧∧-●
|------------------ +--------- X軸
| 0

速度式　v = v0 * cos 平方根(k/m) * t

上の式を積分したものが以下

位置式 x = v0 * 平方根(m/k) * sin 平方根(k/m) * t

と説目されていました。

自分としては以下のような気がしますが

位置式 x = v0 * sin 平方根(k/m) * t

v0 * 平方根(m/k) の部分は正しいのでしょうか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

＞ 勉強し直します。

だったら、まず、「合成関数の微分」を復習するとよいです。
(d/dx) F(g(x)) = F'(g(x))・g'(x) でしたね。
ここで g(x) が一次関数だと、例えば g(x) = cx のとき
(d/dx) F(cx) = F'(cx)・c となります。
積分形で書けば、F(cx) = c ∫ F'(cx) dx ですね。
F'(x) = f(x) と書いて変形すれば、
(1/c) F(cx) = ∫ f(cx) dx。これが 1/c の出処です。

お礼

回答ありがとう御座います。

丁寧に説明して頂き、1/cの謎が解けました。

おーー合成関数の微分かーーって感じで!!

回答No.2

spring135

＞v = v0 * cos 平方根(k/m) * t
v=v0cos(t√k/m)
x=∫(0→t)v0cos(t√k/m)dt
√k/m=cとおくと

x=∫(0→t)v0cos(ct)dt
=v0[(1/c)sin(ct)](0→t)
=(v0/c)sin(ct)
cを戻せばよい。

お礼

回答ありがとう御座います。

計算過程まで記入して頂きありがとう御座います。
やはり　いきなり　1/c　の　記述で現時点の私の理解力では
？？？になっております

微積自体を根本的に理解していないので、もう一度
勉強し直します。

回答No.1

buenaarbol

参考書は正しいですよ？

確かめのために、
＞位置式 x = v0 * 平方根(m/k) * sin 平方根(k/m) * t

を微分してみれば、

v0 * 平方根(m/k) * 平方根(k/m) * cos 平方根(k/m) * t　より、

確かに
＞速度式　v = v0 * cos 平方根(k/m) * t
となります。

お礼

早速の回答ありがとう御座います。

位置式 x = v0 * 平方根(m/k) * sin 平方根(k/m) * t
上記を微分すると以下になるんですね
v0 * 平方根(m/k) * 平方根(k/m) * cos 平方根(k/m) * t

以下の公式を見つけました確かに参考書は正しいようです。
∫a・cos ・ bx (dx) = a/b ・sin ・x

微積自体を根本的に理解したいと思います。