難しくてわからないので教えてくれませんか。

質問

速さに比例する抵抗を受けながら落下する物体の運動を次のようにして求めよ。
(i)鉛直下向きにｘ軸をとり、v=x´として運動方程式を立てると、mv´=－Cv＋mgとなる。V‐(mg／C)を変数(tの関数)とみてこの方程式を積分せよ。
(ii)t＝0でv＝0として積分定数を決定せよ。
(iii)t→∞のときの速さはいくらか。
(iv)v(t)を積分してx＝x(t)を求めよ。X(0)＝0とする。
(v)C→0のとき、上に求めたx(t)がgt^2／2になることを確かめよ。必要ならば、e^‐δ≒1－δ＋(δ^2／2)－(δ^3／6)＋…(|δ|が小さいとき)を用いよ。

わからないのでよろしくお願いします。

回答No.2

okormazd · ベストアンサー

微分、積分をちょっと学べば、それほど難しい問題ではなく基本的な問題と思います。
「難しくてわからない」というと、基本的なことが理解できていないのでしょう。できるだけの説明はしますが、基本的な内容は自分でもう一度勉強してください。

x'=dx/dt、v'=dv/dt
です。

(i)　mv'=－Cv＋mgは、m(dv/dt)=-Cv+mg
です。
両辺をmで割ると、
dv/dt=-C/m(v-m/C・g)
ここで、u(t)=v(t)-m/C・gとすれば、du/dt=dv/dt
dv/dt=du/dt=-C/m・u
だから、
du/u=-C/m・dt
両辺を積分して、
∫du/u=-C/m∫dt
すなわち、
log(u)=-C/m・t+c1 (c1:積分定数)
書き換えれば、
u=v-m/C・g=Ae^(-C/m・t)　　　(A=e^c1:積分定数)
だから、
v=Ae^(-C/m・t)+m/C・g

(ii)　上式で、t=0とすれば、
0=A+m/C・g
だから、A=-m/C・g
で、結局
v=m/C・g{1-e^(-C/m・t)}

(iii)　t→∞で、e^(-C/m・t)→0
だから、v=m/C・g
になる。

(iv)　v(t)=dx/dtだから、
dx/dt=m/C・g{1-e^(-C/m・t)}
dx=m/C・g{1-e^(-C/m・t)}dt
で、両辺を積分すると、
∫dx=m/C・g∫{1-e^(-C/m・t)}dt
x(t)=m/C・g{t+m/C・e^(-C/m・t)}+c2　　　(c2:積分定数)
x(0)=0だから、e^(-C/m・0)=1、で、
0=m/C・g・m/C+c2
c2=-(m/C)^2・g
結局、
x(t)=(m/C)^2{(C/m)t+e^(-C/m・t)-1}g

(v)　e^‐δ≒1－δ＋(δ^2／2)－(δ^3／6)＋…(|δ|が小さいとき)、だから、
δ=-C/m・tとして、２次の項までとれば、(C→0だから、高次の項は無視できる)
e^(-C/m・t)=1-C/m・t+(-C/m・t)^2/2
これをx(t)の式に代入すると、

x(t)=(m/C)^2{C/m・t+1-C/m・t+(-C/m・t)^2/2-1}g
=gt^2/2

ついでにいうと、C→0(抵抗がごく小さいとき)は、v=gtになるし、
抵抗があっても、tが小さい(落ち始め)なら、v=gt、x=gt^2/2になることは、同様にしてわかるでしょう。

ここで書くと、式がうまく書けないので、わかりにくいが、普通の数式に書き直して考えてください。どっか書き間違いがあるかもしれないが、そこは自分で考えよう。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

noname#185374

u = v - mg/C
として，u に関する微分方程式を書いてください．
変数分離法で解ける形になります．