極限の問題

質問

添付画像の問題がわからず困っています。よろしくお願いします。

回答No.1

bran111

階乗の漸近展開（スターリングの公式）はご存知ですか。

n!~(2πn)^(1/2)n^ne^(-n)

これを使います。

a(2n)/a(n)=[(2n)^(2n)e^(2n(π-1))/(2n)!][n!/n^ne^(π-1)]
=e^(n(π-1))[(2n)^(2n)/n^n][n!/(2n)!]
~(e^(n(π-1))[(2n)^(2n)/n^n][(2πn)^(1/2)n^ne^(-n)/(4πn)^(1/2)(2n)^(2n)e^(-2n)]
=(e^(n(π-1))[e^n/2^(1/2)]
=e^(nπ)/√2

lim(n→∞)log[a(2n)/a(n)]^(1/n)=lim(n→∞)log[e^(nπ)/√2]^(1/n)
=lim(n→∞)(1/n)[(nπ)+log(1/√2)]
=π-lim(n→∞)(log2)/2n=π

補足

階乗の漸近展開（スターリングの公式)を使用しないで解法が知りたいです。どうかよろしくお願いします。