数列の極限について教えてください

質問

数列の極限について教えてください

数式をパソコンで打ち込めないので画像添付にしました。

回答No.2

RSPRSK · ベストアンサー

(1)与えられた式に
{√(n^2+2n+2)+√(n^2-n)}/{√(n^2+2n+2)+√(n^2-n)}
をかけてやります。
lim[n→∞]{√(n^2+2n+2)-√(n^2-n)} × {√(n^2+2n+2)+√(n^2-n)}/{√(n^2+2n+2)+√(n^2-n)}
=lim[n→∞](3n+2)/{√(n^2+2n+2)+√(n^2-n)}
分子、分母に 1/n をかけて
=lim[n→∞](3+2/n)/{√(1+2/n+2/n^2)+√(1-1/n)}
=3/2

(2)分子、分母に 1/4^n をかけて
lim[n→∞]{(2/4)^n+1}/{(3/4)^n+1}
=1

(3)級数の和の公式を使って解きます。
今後、書くのがめんどうなので Σ[k=1 ~ n]=Σ とします。

級数の和の公式 : Σk=n(n+1)/2
Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6

まず、分子から考えていきます。
(n+1)^2+(n+2)^2+…+(2n)^2
=(n+1)^2+(n+2)^2+…+(n+n-1)^2+(n+n)^2
=Σ(n+k)^2
=Σ(n^2+2nk+k^2)
=n^2Σ1+2nΣk+Σk^2
=n^3+2n{n(n+1)/2}+n(n+1)(2n+1)/6
=(14n^3+9n^2+n)/6
次に分母を考えます。
1^2+2^2+…+n^2
=Σk^2
=n(n+1)(2n+1)/6
=(2n^3+3n^2+n)/6
よって、
(与式)=lim[n→∞]{(14n^3+9n^2+n)/6}/{(2n^3+3n^2+n)/6}
=lim[n→∞](14n^3+9n^2+n)/(2n^3+3n^2+n)
=lim[n→∞](14+9/n+1/n^2)/(2+3/n+1/n^2)
=14/2
=7

回答No.1

ferien

（１）lim［ｎ→∞］｛√（ｎ^2＋２ｎ＋２）－√（ｎ^2－ｎ）｝
＝lim［ｎ→∞］｛（ｎ^2＋２ｎ＋２）－（ｎ^2－ｎ）｝／｛√（ｎ^2＋２ｎ＋２）＋√（ｎ^2－ｎ）｝
＝lim［ｎ→∞］（３ｎ＋２）／｛√（ｎ^2＋２ｎ＋２）＋√（ｎ^2－ｎ）｝
＝lim［ｎ→∞］｛３＋（２／ｎ）｝／｛√｛１＋（２／ｎ）＋（２／ｎ^2）｝＋√｛１－（１／ｎ）｝｝
＝３／（１＋１）
＝３／２

（２）lim［ｎ→∞］（２^n＋４^n）／（３^n＋４^n）
＝lim［ｎ→∞］｛（２／４）^n＋１｝／｛（３／４）^n＋１｝
＝１／１
＝１

（３）lim［ｎ→∞］｛（ｎ＋１）^2＋……（２ｎ）^2｝／（１^2＋……ｎ^2）
和の公式より、
分母＝(1/6)ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
分子＝｛１^2＋……＋（２ｎ）^2｝－（１^2＋……ｎ^2）
＝(1/6)２ｎ（２ｎ＋１）｛２（２ｎ）＋１｝－(1/6)ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
＝(1/6)ｎ（２ｎ＋１）｛２（４ｎ＋１）－（ｎ＋１）｝
＝(1/6)ｎ（２ｎ＋１）（７ｎ＋１）
分子／分母＝（７ｎ＋１）／（ｎ＋１）
lim［ｎ→∞］（７ｎ＋１）／（ｎ＋１）
＝lim［ｎ→∞］｛７＋（１／ｎ）｝／｛１＋（１／ｎ）｝
＝７／１
＝７

でどうでしょうか？