座標表示から運動量表示への変換

質問

量子力学の座標表示から運動量表示へ変換するときは次の置き換えをします
　x → ih d/dp　(ただしhはhバーを表わす)
　-ih d/dx → p
しかしこうするとx^(3/2)は(ihd/dp)^(3/2)ということになります。3/2回微分するというのはどのように考えたら良いのでしょうか。分数階の微分というのもどこかで見た気はしますが。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html
http://mathworld.wolfram.com/FractionalIntegral.html
からサイト内へのリンク，あるいは参考文献などありますので，
たどってみられてはいかがでしょう．
grothendieck さんくらいの方なら適当な文献があれば，
ご自分でマスターできるでしょう(偉そうに聞こえましたら失礼)．
数学ができそうなハンドルネームだし...

私が非整数階微積分の話を最初に聞いたのは学部の２年生のときです．
物理数学でコーシーの繰り返し積分定理が出てきたときに，
講義の先生がちょっとだけ触れました．
階乗の拡張がΓ関数になっていることなどは知っていましたが，
微積分も非整数階に拡張できるんだと大分感激しました．
(その割には，あんまりちゃんと勉強しなかったけど(^^;))．

今は講義やる方の立場ですが，こういう話をしても感激してくれる学生が
なかなかいないのでさびしい．
「ふ～ん」「それがどうしたの？」という感じです．
愚痴が多くなったのは年取ったのかな～？

お礼

再度のご回答ありがとうございます。教えて頂いたサイトもとても役立ちそうです。先生のご回答からはいつも多くのことを学ばせて頂いています。[q,p^n]=(ih/2π)n p^(n-1)なので共役な演算子との交換子は微分と似ている所があると思いますが、[q,p^(3/2)]などを考えると，非整数回の交換子も必要になるかもなどと考えています。

回答No.1

siegmund

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=204022
に議論があります．

お礼

御回答ありがとうございます。お礼が遅くなって申し訳ありません。教えて頂いたサイトを拝見しましたが、すばらしいと思いました。x^(3/2)はL^2に属さないのでフーリエ変換するにも困難がありそうですが，もう少し考えてみることにしたいと思います。