わからないです

質問

1,4,9のように自然数の2乗となっている数を平方数という n(n+24)という形の平方数は以下の手順により求めたい。この平方数を自然数の未知数kによりn(n+24)=(n+k)^2とおく
1.nをkで表しkが偶数である事を示せ
2.k≦10を示せ
3.k≧4を示せ
4.n(n+24)という形をした平方数をすべて求めよ

解 n=k^2/2(12-k) 25,81,256,1225

お願いします

回答No.3

bran111

n(n+24)=(n+k)^2 (1)

1.nをkで表しkが偶数である事を示せ
(1)より

n^2+24n=n^2+2nk+k^2, n,kは自然数

ｎについて解いて

n=k^2/[2(12-k)}　　　　　　　（2）

kが奇数の時、分子は奇数、分母は偶数となり、nは整数になれない。よって
kは偶数。

2.k≦10を示せ

n>0、kは整数であるので（2）より

k<11

kは偶数であるので

k≦10

3.k≧4を示せ

nは自然数であるので(2)より

n=k^2/[2(12-k)}≧1

k≦10であるので分子は正よって

k^2≧2(12-k)

整理して

(k+1)^2≧5^2

ｋは自然数であってk≧1、このとき、上式より

k≧4

4.n(n+24)という形をした平方数をすべて求めよ

式（2）において4≦k≦10である偶数k＝4,6,8,10を代入しｎを求め平方数N=n(n+24)
を計算する。

k=4 n=1 N=25=5^2
k=6 n=3 N=81=9^2
k=8 n=8 N=256=16^2
k=10 n=25 N=1225=35^2

回答No.2

atkh404185

１． n(n+24)=(n+k)^2　・・・・・・ (A) とおくと
n^2+24n=n^2+2kn+k^2
24n-2kn=k^2
2(12-k)n=k^2
n=k^2/2(12-k)　・・・・・・ (B)

ここで、 n は自然数だから、
k^2/2(12-k) も自然数である。
よって、 k^2 は２の倍数である。

k は自然数だから、 k=2a, 2a-1 (a は自然数)とおける。
(i)　k=2a のとき
k^2=(2a)^2=4a^2=2・2a^2
(ii)　k=2a-1 のとき
k^2=(2a-1)^2=4a^2-4a+1=2(2a^2-2a)+1

(i)、 (ii) より
k^2 が２の倍数(偶数)であるのは、 (i) の場合のみである。
このとき、 k は２の倍数である。
したがって、 k は偶数である。

２． (i) より
n=k^2/2(12-k)
n は自然数だから、正の数である。
よって、
k^2/2(12-k) も正の数である。
分子の k^2 は正の数であるから、
分母の 2(12-k) も正の数である。
よって、
2(12-k)>0
12-k>0
k<12
k は (i) より偶数であるから
k≦10

３．(n+k)^2-(n+4)^2
=n(n+24)-(n+4)^2
=n^2+24n-(n^2+8n+16)
=n^2+24n-n^2-8n-16
=16n-16
=16(n-1)
n は自然数だから、 n-1≧0 であり、
16(n-1)≧0
よって、
(n+k)^2-(n+4)^2≧0
(n+k)^2≧(n+4)^2
n+k≧0、n+4≧0 だから、
n+k≧n+4
k≧4

４．２．３．より、 k のとりうる値の範囲は
4≦k≦10
(iii)　k=4 のとき (B) に代入して
n=4^2/2(12-4)=16/2・8=1
(A) に代入して
n(n+24)=1(1+24)=1・25=25

(iv)　k=6 のとき (B) に代入して
n=6^2/2(12-6)=36/2・6=3
(A) に代入して
n(n+24)=3(3+24)=3・27=81

(v)　k=8 のとき (B) に代入して
n=8^2/2(12-8)=64/2・4=8
(A) に代入して
n(n+24)=8(8+24)=8・32=256

(vi)　k=10 のとき (B) に代入して
n=10^2/2(12-10)=100/2・2=25
(A) に代入して
n(n+24)=25(1+24)=25・25=625

(iii)、 (iv)、 (v)、 (vi) より
25、 81、 256、 625

と、なりましたが・・・。

回答No.1

Tofu-Yo

1前半：展開してnについて解くだけ
1後半：kを奇数と仮定するとk^2も奇数。分母に2があるのでnが自然数であることに矛盾
2：分子＞0なので分母＞0
3：k≠2だけ示せば十分
4：k＝4、6、8、10をそれぞれ代入してnが整数になることを確認し、目的のものを求める