すべての自然数ｎ＞＝0に対して

質問

すべての自然数ｎ＞＝0に対してn3乗+(n+1)3乗+(n+2)3乗が9で割り切れることを証明せよ。

これがわかりません。
展開して3n(n2乗+3n+5)+9という形にして3n(n2乗+3n+5)が9で割り切れることを示すのでしょうか？
それとも帰納法でn=kで成り立つと仮定してn=k+1が9で割り切れることを示すのでしょうか？

申し訳ありませんが教えていただきたいです。
よろしくお願いします

回答No.7

alice_44

n を 3 で割った余りで場合分けしない解法：

3 で割り切れる数 3x と
3 で割ると 1 余る数 3y+1 と
3 で割ると 2 余る数 3z+2 の
三乗の和は、(3x)^3 + (3y+1)^3 + (3z+2)^3
= 9(3x^3 + 3y^3 + 3y^2 + y + 3z^3 + 6z^2 + 4z + 1).
ほら、9 で割り切れた。

{ n, n+1, n+2 } には、常に、3 で割り切れる数と、
3 で割ると 1 余る数と、3 で割ると 2 余る数が
各一個ありますね。

←A No.4
「自然数」が正整数か非負整数かは、宗教対立ですから、
あまり一方に肩入れしないほうが、バランスがよいです。

回答No.6

naniwacchi

#3です。

たとえば、4で割った余りであれば、0, 1, 2, 3の 4とおりがありますね。
すると、すべての 0以上の整数は
n＝ 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3（kは 0以上の整数）

で網羅することができます。これが場合分けです。

同じような考え方でも
n＝ 4k, 4k-1, 4k-2, 4k-3

と場合分けを選ぶこともできます。
※このときは、kの選び方は注意しないといけません。
（0から始まるものと、1から始まるものがある）

同じように、3の倍数で余りを考えていきます。

回答No.5

hitomura

問題で解き方を指定される（「帰納法を使え」とか）のでない限り、証明問題は証明出来れば問題ありません。
自分だったら……

m=n+1 と定義すると、与えられた問題は
　すべての自然数m＞＝1に対して(m-1)3乗+(m)3乗+(m+1)3乗が9で割り切れることを証明せよ。
となる。この式を整理すると、
　(m-1)3乗+(m)3乗+(m+1)3乗={m3乗-3m2乗+3m-1}+m3乗+{m3乗+3m2乗+3m+1}=3m3乗+6m=3m(m2乗+2).
mが3の倍数ならば3mが9で割り切れる。
m=3k+1(k=0,1,...)ならば、m2乗+2=(3k+1)2乗+2=9k2乗+6k+3=3(3k2乗+2k+1)だから、3(m2乗+2)が9で割り切れる。
m=3k-1(k=1,2,...)ならば、m2乗+2=(3k-1)2乗+2=9k2乗-6k+3=3(3k2乗-2k+1)だから、3(m2乗+2)が9で割り切れる。
上記の場合わけでmがとりうる値すべてを網羅しているため、すべての自然数m＞＝1に対して与式の値が9で割り切れることが証明された。

……とします（剰余類が使えるならもっと分かりやすくできますが）。

回答No.4

naniwacchi

#3です。

ひとつ書き忘れていました。どうでもいいことと言えば、そうなのですが。

＞すべての自然数ｎ＞＝0に対して
自然数は 1以上の整数のことを指すので、「0以上の整数」は自然数とは呼べません。
表現の仕方としては、
「0以上の整数」「非負の整数」などと表現したりします。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

＞展開して3n(n2乗+3n+5)+9という形にして
もう少しきちんと書いて整理していけば・・・
展開すると、
n^3+ (n+1)^3+ (n+2)^3
＝ 3n^3+ 9n^2+ 15n+ 9
＝ 3n*(n^2+ 5)+ 9*(n^2+1)

あとは、第 1項が 9の倍数であること。すなわち、n* (n^2+ 5)が 3の倍数であること。
が示されればいいですね。
こういうときは、nを 3で割った余りで場合分けして示していくことが多いですね。
いまの場合も、それで示すことができます。

補足

nを 3で割った余りで場合分け

この部分のヒントいただけませんか？＞＜

回答No.2

OurSQL

いろいろなやり方があると思いますが、あなたの式変形を尊重して続きを書くと、

n ^ 3 + ( n + 1 ) ^ 3 + ( n + 2 ) ^ 3

= 3 n ( n ^ 2 + 3 n + 5 ) + 9

= 3 n { ( n + 1 ) ( n + 2 ) + 3 } + 9

ここまで変形すれば、あとは見えてきたのではないでしょうか。

回答No.1

noname#130496

帰納法。
その式をS(n)とすればS(n+1)=S(n)-n^3+(n+3)^3よりすぐ分かる。