整数問題（別解）

質問

x^2-mnx+m+n=0,m,nは自然数のとき、この方程式のすべての解が整数となる方程式をすべて求めよ。
　この問題を判別式を用いて、
D=m^2n^2-4m-4n=k^2 (k自然数) ・・・この流れで、この問題は解けないでしょうか。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

解けたけど、つまらない。

条件から、Ｄ＝（mn）＾2-4（m+n）＝k＾2、‥‥(1)（kは0以上の整数）にならなければならない。
Ｄの値は、（mn）＾2より小さいから、m、nが大きい数であると、4（m+n）は、（mn）＾よりはるかに小さい。
従って、Ｄ＝（mn）＾2-4（m+n）≦（mn-1）＾2であることが強い制限になる。
つまり、これは、2*（m-2）*（n-2）≦9 ‥‥(2)　と、なるが、mとnについて対称から、m≦nと仮定しても一般性を失わない。
すると、この不等式が満たされるのは、mとnの中で、小さいほうのmの値が定められる。
2*2*2＝8＜9、2*3*3＝18＞9　だから、m-2≦2　であるから、m＝1、2、3、4。　以下、省略。

mとnが自然数ではなく、正の有理数なら、面白いのに。

お礼

早速、回答・解答いただきありがとうございました。
D=<(mn-1)^2 に気づきませんでした。
大変勉強になりました。これからもよろしくお願いします。