フェルマーの最終定理(n=4)

質問

p,qは互いに素な自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)p,qがともに奇数であるとき、p^4+q^4は自然数の2乗にならないことをするせ。

これは、平方数を4で割った余りは、0または1で、条件よりp^2,q^2も奇数で
p^4+q^4≡1+1=2(mod 4) mod 4で0または1でないので、平方数ではない。と書かれています。

(2)qは奇数とする。つぎの手順に従って、(2p)^4+q^4が自然数の2乗にならないことを背理法を用いてしるせ。
[1]次の仮定(H)が成り立つものとして、以下の問(A)～(D)に答えよ。
仮定(H):(2p)^4+q^4=r^2となる自然数rが存在する。
(A)2pとrは互いに素になることをしるせ。

　仮定(H)より2pが偶数で、qが奇数なので、rは奇数です。ここからがわからないところです。2pとrの最大公約数をdとおくと、ｄは奇数です。
　自分は、偶数を　2*奇数、2*偶数、奇数を2*奇数+1、2*偶数+1、として、最大公約数が奇数なら、偶数も奇数も奇数で割って、自然数になるのか確かめようとしましたが、失敗しました。
　どなたか偶数と奇数の最大公約数は奇数になることを証明してください。お願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

奇数 r の約数で偶数のもの k があったら、奇数rは偶数kの倍数となるけど、偶数の倍数は偶数なんだから、明らかにおかしいでしょう？

奇数の約数は奇数しかないんだから、偶数と奇数の最大公約数はその奇数の約数の内のどれかなのだから、奇数しか有り得ない。

お礼

(約数の)偶数の倍数は偶数で奇数ではなくなってしまう。わかりやすい説明ありがとうございます。