無理数 有理数に 関する問題

質問

以下の問題　お尋ねします
自然数ｎの平方根の整数部分をｍとし、小数点以下をｋとします
すなわち√ｎ＝ｍ+ｋ
このとき
ｍの三乗とｋの三乗の和を
ｋで割った数が
有理数となるときの
nを求めよ
という問題ですなのですが
ご興味おありのかた
ご教示できる方
宜しくお願い致します。
また　もし上記レベルの問題を考えるに際して
無理数　有理数の解説に適当な問題集や
テキストご存知の方
教えてください
大学レベルでも　けっこうです

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

惜しい。n = 24 も、解です。

(2/3)n = m^2 から、n は平方数の 6 倍と判ります。
n = 6c^2 と置くと、
√n = m + k と 0 ≦ k < 1 より、(√6)c - 2c < 1 すなわち
c < 1 / (√6 - 2) = (√6 + 2) / (6 - 4) < (3 + 2) / 2
が出ます。これで、n = 6 または 24 に絞られたことになります。
実際、n = 24 のとき、m = 4,　k = 2√6 - 4 より、
(m^3 + k^3) / k = 72 であり、題意を満たしています。

それにしても、こんな楽しい問題、どうやって創るのでしょうね？

お礼

nayamumonoさんのコメントを
ヒントに6,24,54,96,・・・とか
検算もせずに　決め付けてしまいました
0 ≦ k < 1 より、(√6)c - 2c < 1 を
提示頂き
そうだったなと
気付く事が出来て
目から鱗でした
有り難うございました。

回答No.2

nayamumono

すいません、nayamumonoです。
さきほどの解答ちょっとまちがいがありましたので・・・

ｍ＝０はありえないとかきましたがここも場合わけをしないといけませんでした
さっきの解答はｍ＝０でないときです。

ｍ＝０のときは（３）（４）より
２ｎ＝０となり
ｎ＝０となるがこれは自然数でないので条件より不適

以上です

すいませんでした。

お礼

引き続きのフォロー有り難うございました。

回答No.1

nayamumono

自信ありませんが見てくだされば幸いです。
条件から（ｍ＾３＋ｋ＾３）/ｋ＝a/b・・・(1)
ただし、a,bは整数でbは０ではない数となります。

√ｎ＝ｍ+ｋ・・・(2)を３乗します。

（√ｎ）＾３＝ｍ＾３＋ｋ＾３＋３ｍｋ（ｍ＋ｋ）となるので(1)(2)を代入します。そうすると　

（√ｎ）＾３＝aｋ/b＋３ｍｋ√ｎ
この式からｋをけしたいので(2)を代入して

（√ｎ）＾３＝（a/b＋３ｍ√ｎ）（√ｎ－ｍ）
　＝a√ｎ/b-am/b+3mn-3(m^2)√ｎ

√ｎでくくって

√ｎ（ｎ－a/b+3m＾２）＝（３ｎ－a/b）m

ここで場合わけをします。
ｎ－a/b+3m＾２＝０でないとき

√ｎ＝｛（３ｎ－a/b）m｝/（ｎ－a/b+3m＾２）
となりますがいまｎ、ｍ、a、ｂは整数だから
√ｎ＝ｃ/bとおけるがこれは無理数の定義より矛盾している。

ｎ－a/b+3m＾２＝０・・・（３）のとき
（３ｎ－a/b）m＝０・・・（４）（ｍ＝０ありえない）が成り立ちます
（３）（４）から
２ｎ＝３ｍ＾２
２ｎ/3=m^2

よってｎ＝６です

やってみてください。ちがったりなんか不都合があれば補足かなにかにかいてください。

お礼

とても整然として　きれいな　ご回答　有り難うございました。
√ｎでくくって　の　その発想が起きず　その手前の式まで　出して
諦めてしまいまして・・・感謝申し上げます