中3 数学 （訂正版）

質問

先ほど問題を打ち間違えて投稿してしまったため先ほどのは締め切り、再投稿させて頂きます。

ある問題集に下のようなもんだいがありました。

「ｎが20以下の自然数のとき50ｎがある整数の平方になる。このとき、ｎの値を全て求めなさい」

解けなくて解答を見ても解説はなく、
答えが「2、8、18」とあるだけでした。

私は50を素因数分解して（2×5の2乗）をだして、
2をかけて2が2乗になるようにして、積を2×5の平方にし、答えの一つは「2」とわかり、
同じように（2の4乗×5の2乗）とペアを作り、積を2×2×5の平方にし、もう一つの答えが「8」
だとはわかったのですが、このやり方（2と5でペアを作っていく）では「18」は出てきません。

違うやり方があるということでしょうか。
できるだけわかりやすく教えて頂きたいです。

また、中3の問題なので高校で教わるような難しい公式は一切使いません。

どなたかわかる方、教えてください。

回答No.3

eco1900 · ベストアンサー

「ｎが20以下の自然数のとき50ｎがある整数の平方になる。このとき、ｎの値を全て求めなさい」

とりあえず、はっきりと数字として判明している部分だけでも「素因数分解」しておきます^^。
　　50＝2×5^2　（「^2」は「二乗」を表しています）

問題は、「50nが整数の平方（二乗）になる」ですね。

さっきの「素因数分解」と合わせて書き換えると・・・

　　50n＝2×5^2×n・・・この右側をよく見てください。

　　→「５」にはもう既に「二乗」が付いてしまっていますね。
　　　（ということで、そっとしておきましょう）

　　→まだ、「二乗」の付いていない先頭の「２」も「二乗」にさせたいところです。

　　→ここで、最後の代打n君に、この際「２」となってもらいましょう。
　　　（つまり、「平方」の形をしていないため、あえてn＝２なら、誰もかれも「平方（二乗）」という指数が付いて万々歳というわけなんです^^A）

ここまでで、とりあえず、nは「２」と分かりました。

・・・ところが、nは「20以下の自然数」という制限がありましたね。

・・・ということは、次にnがなり得る姿の数字は何でしょうか？
（「２」ということが、さっき分かったからといって、次は「３」かな？「４」かな？・・と制限範囲の20まで地道に調べていくのは、時間がかかりそうですね。）

つまり、こう考えます。

初めの理屈から「n＝２」ということは、絶対に譲れませんね^^A。

そして、「n＝２」ということは、譲れないまま・・・
「n」そのものが「平方数」となっても、誰もかれも結局は「平方（二乗）」という指数が付いてしまっているということです。

（ちょっと表現がおかしいですが・・中学生向けにお話ししています^^A）

ということで・・・・
　・n＝２
　・n＝２×４（→４は平方数ですから）
　・n＝２×９（→９も平方数ですから）
　・n＝２×１６（→１６も平方数ですから）→でも20の制限範囲を超えてしまいました^^A。

以上より、n＝　　・・・^^A。もう言うまでもなくお分かりですよね。

【答え】n＝2、8、18

お礼

みなさま、沢山のご回答ありがとうございました。
やっと理解できました。
皆様をベストアンサーにしたいところですが私にとって一番わかりやすかったeco1900さんをベストアンサーににしたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.6

KEIS050162

既にたくさん回答があるので、蛇足です。

質問者殿の考え方で合っていますが、因数２と５のペアに固執し過ぎて、因数３を見過ごしているだけだと思います。

質問者殿の考えた通り、５０ｎ＝２×５×５×ｎの因数がすべてペアになれば良いのですから、
今ペアになっていない２に、自然数の小さい方から順にその二乗をかけて行けばよいです。

２　×　１　×　１　＝　２
２　×　２　×　２　＝　８
２　×　３　×　３　＝　１８　←　因数２と５以外でもペアになれば良い。
２　×　４　×　４　＝　３２　（ｎ＜２０の条件から外れる）

以上、蛇足でした。

回答No.5

info22_

50 =5x5x2
50n=(5x5x2)x2=(5x2)^2=10^2 → n=2
50n=(5x5x2)x2x(2x2)=(5x2x2)^2=20^2 → n=2x(2x2)=8
50n=(5x5x2)x2x(3x3)=(5x2x3)^2=30^2 → n=2x(3x3)=18
となります。

n=2x(mｘm)
の形でないといけません。
n は 20以下ですから,
mxm は 10以下です。
10 以下の自乗数は 1x1=1, 2x2=4, 3x3=9
の3通りしかありませんね。
n は この 1, 4, 9　にかけた数である「2,8,18」になります。

お分かりですか？

回答No.4

wild_kit

５０＝２・５＾２ということは、少なくともｎは２の倍数です。
また残った部分も何かの二乗となります。
ｎ＝２（ｘ＾２）
ｎ＜＝２０なのだから、（ｘ＾２）＜＝１０
自然数で（ｘ＾２）＜＝１０となるのは１（１＾２＝１）、２（２＾２＝４）、３（３＾２＝９）の３つです。
求めるｎは２（ｘ＾２）です。
つまり２（１＾２）＝２、２（２＾２）＝８、２（３＾２）＝１８ですね。

回答No.2

noname#146604

５０ｎ
＝（５＾２）×２×ｎ

なので、ｎは２が奇数個、他の数の平方を偶数個含んだ数であればよいと言うことになります。
ここで、ｎは２０以下の自然数なので、ｎ＝２×１＾２、２×２＾２、２×３＾２のいずれかになります。

回答No.1

Kirby64

３の２乗が９、２×５×５だから、あと２をかけると平方数になるニャ。
９×２＝１８だから、「20以下の自然数」にも合致するニャ。