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関数のグラフの書き方、実数解の判定がわからない
- ｆ（ｘ）＝x^3-3(a-1)x^2-12ax についてf(x)の極大値M(a)のグラフをかきなさい
- x^3-kx+3k+6=0が-3≦ｘ≦3の範囲に2つの実数解をもつときｋのとりうる範囲を求めなさい
- 関数のグラフの書き方や実数解の判定について詳しい説明を教えてください
- bobobobo525
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(1)のグラフについて f(x)=x^3-3(a-1)x^2-12axから f'(x)=3x^2-6(a-1)x-12a f'(x)=0とおいてx^2-2(a-1)-4a=0より(途中計算略)x=-2,x=2a よってf(x)は-2≠2aのときx=-2,x=2aで極値をとり、f(x)のx^3の係数が 正なので右上がりの三次曲線であることから、 -2＜2aのとき、すなわち-1＜aのときM(a)=f(-2)=12a+4・・・(ア) 2a＜-2のとき、すなわちa＜-1のときM(a)=f(2a)=-4a^3-12a^2・・・(イ) です。 極大値M(a)のグラフをかくのですから、M(a)を縦軸、aを横軸とすると、 グラフの形はー1＜aの範囲は(ア)の直線で、a＜-1の範囲は(イ)の三次曲線 になります。 まず(ア)の直線は、M(-1)=12*(-1)+4=-8、M(0)=4から、点(-1,-8)と 点(0,4)を通る直線のー1＜aの部分になります。 ここで点(-1,-8)というのは横軸の座標すなわちaが-1で縦軸の座標M(a) が-8の点です（以下、点の表し方は同じです）。 次に(イ)の三次曲線ですが、a^3の係数がマイナスですからこの曲線は 左上がりの三次曲線であり、M'(a)=-12a^2-24a=-12a(a+2)=0からa=-2 で極小値M(-2)=-16、a=0で極大値M(0)=0となるので、点(-2,-16)で下に 凸の頂点、点(0,0)で上に凸の頂点になります。 そして、M(a)=-4a^3-12a^2=-4a^2(a+3)=0から、a=0でM(0)=0のほか、 a=-3でM(-3)=0ですから、点(-3,0)で横軸と交差します。 さらにM''(a)=-24a-24=-24(a+1)=0よりa=-1,M(-1)=-8すなわち点(-1,-8) が変曲点となるので、この曲線はa＜-1の範囲で下に凸な曲線(∪)、 -1＜aの範囲で上に凸な曲線(∩)となります。 この三次曲線のa＜-1の部分と、直線(ア)のー1＜aの部分を点(-1,-8)で 繋げ、点(-1,-8)が不連続点であることを「◦」などの記号で表した図が 極大値M(a)のグラフになります。
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- MagicianKuma
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>グラフを書くときの向きはｆ（ｘ）、M(a)どちらの式できめるのですか？ ご質問の意味が分かりません。グラフを書くときの向き？？？ M(a)というのはaを決めたら、何らかの値が決まってそれをM(a)で表しましょう。ということですよね。 Mを関数と呼んだり、写像とか呼んだりしますが、でグラフと言うのはaとM(a)の組(a,M(a))を図で表そうということですね。この場合は平面上に(a,M(a))をプロットするわけです。M(a)がaの式で表されれば、f(x)はもう忘れて良いのですよ。
お礼
ありがとうございます 疑問が解決しました
- MagicianKuma
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追伸：a=-1のところは極大・極小にならないので、○(白丸)で不連続を表しておく。
お礼
ありがとうございました
- MagicianKuma
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(1)について なんだか、所々言葉が変な感じがしますが、そこまで解いたのなら、グラフにするだけでは？ 極大値をとるのは、x=-2またはx=2aでxの小さい方 -1＜aのときはx=-2の時でM(a)=f(-2)=12a+4 a＜-1のときはx=2aの時でM(a)=f(2a)=-4a^3-12a^2 で、M(a)のグラフをかけというのだから、横軸a、縦軸M(a)を書けばいいだけ。 、
お礼
回答ありがとうございます グラフを書くときの向きはｆ（ｘ）、M(a)どちらの式できめるのですか？ 不連続の値はM(-1)=-8となりました
お礼
丁寧にありがとうございます おかげさまで解決しました