ベクトル 直線上の点の存在範囲について

質問

⊿OABに対して↑OP=ｓ↑OA+t↑OBとする。s,tが次の条件の時、点Pはどのような図形上にあるか図示せよ。

という問題シリーズが全くわかりません。

この問題のもととなる
↑p=s↑a+t↑b
s+t=1になることは式変形から求められるので理解できるのですが、

s+t=3のときなどの条件が与えられたとき
なんで3で割るのか
なんでs',t'に置き換えるのか
置き換えた結果そのことが言えるのかということがわかりません。

このような場合、どのように考えればよろしいのでしょうか？
斜交座標にもつながる部分なので困っております。
回答よろしくお願いします。

回答No.3

atkh404185 · ベストアンサー

s+t=1という形に変形することはわかったのですが、

この問題はs=4, t=-1なども考えていいということになりますよね。

その場合、3で割ってs+t=1に変形できるの？
と思ってしまうのですが...

どのように考えればよろしいでしょうか？

　　　↓↓↓

s+t=4+(-1)=3　（イコール ３）
だから、
3↑ＯＡ=↑ＯＣ、 3↑ＯＢ=↑ＯＤ
となる点Ｃ、Ｄをとると、
点Ｐは、直線ＣＤ上にあります。

s=4, t=-1 のとき
↑ＯＰ=4↑ＯＡ+(-1)↑ＯＢ
になりますね。
この式を、次のように変形します。

↑ＯＰ=4↑ＯＡ+(-1)↑ＯＢ
=4↑ＯＡ-↑ＯＢ
=3↑ＯＡ+(↑ＯＡ-↑ＯＢ) （イコール３だから、3↑ＯＡ をつくる）
=3↑ＯＡ+↑ＢＡ
=3↑ＯＡ-↑ＡＢ

すると、点Ｐは、
3↑ＯＡ=↑ＯＣ
とおけば、点Ｃを通って、
ＡＢに平行な直線上にあるわけですが、
（さらに、3↑ＯＢ=↑ＯＤ とおけば直線ＣＤですね）

-↑ＡＢ
だから、
点Ｃから、向きが ↑ＡＢ と反対方向で、
ＡＢと同じ大きさの距離にあることがわかります。

★★　もし、『 内分・外分 』を知っていれば、

線分ＡＢを m ： n の比に内分する点Ｐは
　　↑ＯＰ=(n↑ＯＡ+m↑ＯＢ)/(m+n)

線分ＡＢを m ： n の比に外分する点Ｑは
　　↑ＯＱ=(-n↑ＯＡ+m↑ＯＢ)/(m-n)
《注： m>n のとき 線分ＡＢのＢの右側
　　　　m<n のとき 線分ＡＢのＡの左側》

です。

↑ＯＰ=4↑ＯＡ+(-1)↑ＯＢ
（=3{(4/3)↑ＯＡ-(1/3)↑ＯＢ}）
=(4/3)・3↑ＯＡ-(1/3)・3↑ＯＢ

と変形して、
3↑ＯＡ=↑ＯＣ、 3↑ＯＢ=↑ＯＤ
となる点Ｃ、Ｄをとると、

↑ＯＰ=(4/3)↑ＯＣ-(1/3)↑ＯＤ
=(4↑ＯＣ-↑ＯＤ)/3

となり、点Ｐは、線分ＣＤを 1：4 の比に外分する点になります。 ・・・・・（ア）
（m=1、n=4 より m<n だから、Ｃの左側）

また、例えば、
s+t=7
のとき、
7↑ＯＡ=↑ＯＣ、 7↑ＯＢ=↑ＯＤ
となる点Ｃ、Ｄをとると、
Ｐは直線ＣＤ上にあります。

s=-5、t=12
（s=4, t=-1 のとき s>t でしたが、これは s<t です。 ）
とすると、
同じように、式変形をして、

↑ＯＰ=-5↑ＯＡ+12↑ＯＢ
=7↑ＯＡ-12↑ＯＡ+12↑ＯＢ （イコール７だから、7↑ＯＡ をつくる）
=7↑ＯＡ-12(↑ＯＡ-↑ＯＢ)
=7↑ＯＡ-12↑ＢＡ
=7↑ＯＡ+12↑ＡＢ

となり、点Ｐは、
7↑ＯＡ=↑ＯＣ
とおくと、
点Ｃを通り、ＡＢに平行な直線上にあります。 ・・・・・（イ）
（さらに、7↑ＯＢ=↑ＯＤ とおけば直線ＣＤです）

+12↑ＡＢ
だから、
点Ｃから、向きが ↑ＡＢ と同じ向きに
ＡＢの12倍の大きさの距離にあることがわかります。

これを、内分・外分がわかるように変形すると、
↑ＯＰ=-5↑ＯＡ+12↑ＯＢ
=(-5/7)・7↑ＯＡ+(12/7)・7↑ＯＢ

と変形して、
7↑ＯＡ=↑ＯＣ、 7↑ＯＢ=↑ＯＤ
となる点Ｃ、Ｄをとると、

↑ＯＰ=(-5/7)↑ＯＣ+(12/7)↑ＯＤ
=(-5↑ＯＣ+12↑ＯＤ)/7

となり、点Ｐは、線分ＣＤを 12：5 の比に外分する点になります。
（m=12、n=5 より m>n だから、Ｄの右側）

と、いうように、《 必ず 》 式変形できます。

s+t=k （⇦ この式を見たときに、直線になる。と、すぐに気づくことです）
の形であれば、
両辺を k で割って、
k↑ＯＡ=↑ＯＣ、 k7↑ＯＢ=↑ＯＤ
となる点Ｃ、Ｄをとればよいのです。

１＋１＝２
のように、すぐに納得できればよいのですが、
なかなかそういうわけにはいかないですね。

言い方が悪いかもしれませんが、
教科書、参考書、問題集に載っている『 考え方 』だから、
昔の数学者が 『 発見した事実 』だから、
（もし、正しくなければ、間違っていれば、当然今使われないですね）
それを、ありがたく、忠実に使えばよいのです。
そのうち、当たり前に思えるかもしれません。

また、
（ア）、（イ）のように
内分・外分の性質を使ってもよいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

atkh404185さんの答えていただいた方法をもとに
s=4,t=-1のときの図を描いてみたところ
確かに直線ＣＤ上に点Ｐが存在しました。

atkh404185のおかげで、教科書の導き方がスマートな導き方だと改めて実感することができました。

回答No.4

atkh404185

ＡＮＯ３．の訂正です。

となり、点Ｐは、線分ＣＤを 12：5 の比に外分する点になります。 ・・・・・（イ）
（m=12、n=5 より m>n だから、Ｄの右側）

です。

（イ） の場所が間違えていました。

回答No.2

atkh404185

↑p=s↑a+t↑b
の式ではなく、

↑ＯＰ=ｓ↑ＯＡ+t↑ＯＢ
の式を使って、

★　点Ｐが、直線ＡＢ上にあるとき、
　　　　↑ＯＰ=ｓ↑ＯＡ+t↑ＯＢ
　　ただし、s+t=1　★
になるわけですね。

↑ＯＡの係数 《 s 》 と↑ＯＢの係数 《 t 》 をたして

　　　　　　　　 《 1 》

になるとき、

『 点Ｐが、直線ＡＢ上にある 』

と、いうことです。

↑ＯＰ=○↑ＯＡ+□↑ＯＢ
という式があるとき、
○+□=1　
であれば、点Ｐが直線ＡＢ上にあるわけです。

だから、
s+t=3
のとき、点Ｐが、『 ある直線上にある 』ことを示したいとき、
右辺を　《 1 》にしなければならないわけです。

だから、両辺を 「 3 」 で割ることになります。

両辺を 3 で割って、
s/3+t/3=1
となります。
このとき、
↑ＯＰ=ｓ↑ＯＡ+t↑ＯＢ
も、それに合わせて式変形をします。
つまり、 s/3 と t/3 を使った式をつくります。

↑ＯＰ=ｓ↑ＯＡ+t↑ＯＢ
=s/3・3↑ＯＡ+t/3・↑ＯＢ
と変形し、ここで、 s/3=s'、t/3=t' とおくと
=s'・3↑ＯＡ+s'・3↑ＯＢ
さらに、
3↑ＯＡ=↑ＯＣ、 3↑ＯＢ=↑ＯＤ （← こちらの方が大事かも。）
とおくと、
=s'↑ＯＣ+t'↑ＯＤ

となります。
これで、
↑ＯＣの係数 《 s' 》 と↑ＯＤの係数 《 t' 》 をたして 《 1 》
になったから、

点Ｐは直線ＣＤ上にあることがわかります。

では、この点ＣとＤはどこにあるかいうと、
3↑ＯＡ=↑ＯＣ、 3↑ＯＢ=↑ＯＤ
から、
線分ＯＡを ３倍に拡大したものを線分ＯＣ、
線分ＯＢを ３倍に拡大したものを線分ＯＤ
としたときの点Ｃ、Ｄになります。　

○+□=△ のように、

　 等式のときは、点Ｐは直線上にある

ことになります。

○+□>△、○+□<△ のように、
不等式であれば、領域になります。

【問題】 △ＯＡＢについて、↑ＯＰ=ｓ↑ＯＡ+t↑ＯＢ のとき、
　　　　点Ｐの存在範囲を示せ。
　　　　ただし、　s+t=5 とする。

考え方） s+t=5 と等式だから、点Ｐはある直線上にある。
両辺を 5 で割って s/5+t/5=1
だから、 s/5 と t/5 をつくればよい。

解） ↑ＯＰ=ｓ↑ＯＡ+t↑ＯＢ
=s/5・5↑ＯＡ+y/5・5↑ＯＢ
ここで、s/5=s'、 t/5=t'、5↑ＯＡ=↑ＯＣ、 5↑ＯＢ=↑ＯＤ
とおくと、
↑ＯＰ=s'↑ＯＣ+t'↑ＯＤ
また、s+t=5 より s/5+t/5=1 s'+t'=1
したがって、
5↑ＯＡ=↑ＯＣ、 5↑ＯＢ=↑ＯＤ となる点Ｃ，Ｄをとると、
点Ｐは、線分ＣＤ上の点である。

のようになります。

なれるまで、大変だと思いますが・・・・・。

補足

回答ありがとうございます。

★　点Ｐが、直線ＡＢ上にあるとき、
　　　　↑ＯＰ=ｓ↑ＯＡ+t↑ＯＢ
　　ただし、s+t=1　★

という性質を使いたいため無理やり

s+t=1という形に変形することはわかったのですが、

この問題はs=4, t=-1なども考えていいということになりますよね。

その場合、3で割ってs+t=1に変形できるの？
と思ってしまうのですが...

どのように考えればよろしいでしょうか？

回答No.1

f272

s+t=3であれば例えばs=3，t=0のときもs=0，t=3のときも成り立つよね。
言い換えるとOA'=3OAである点A'も，OB'=3OBである点B'もその図形上にあるのです。
とすれば，その図形は直線A'B'になりそうだと見当がつくでしょう。
OP=sOA+tOBでs+t=1ならば直線ABになるのだから，
直線A'B'になるときはOP=s'OA'+t'OB'でs'+t'=1です。
OA'=3OA，OB'=3OBなのだからOP=3s'OA+3t'OBでs'+t'=1です。
つまりOP=3s'OA+3t'OBで3s'+3t'=3です。
あらためて3s'=s，3t'=tとおけばOP=sOA+tOBでs+t=3です。

> なんで3で割るのか
> なんでs',t'に置き換えるのか

自分が納得できるのなら，どんな風に考えてもいいですよ。

> このような場合、どのように考えればよろしいのでしょうか？

直交座標でO(0,0)，A(1,0)，B(0,1)となるような特別な場合で考えていればわかりやすい。
このときP(x,y)とすればOP=sOA+tOBからx=s，y=tだとわかるので簡単ですね。
s+t=1であればy=-x+1の直線だし，s+t=3であればy=-x+3の直線です。

補足

>s+t=3であれば例えばs=3，t=0のときもs=0，t=3のときも成り立つよね

確かに式に制限がかかっていないため、そのようなことが言えることはわかりますが、
そういう理解をすると

S=4, t=-1なども考えていいということになりますよね。
その場合、どのように式変形をすればいいという疑問に到り

なんで3で割るのか？

ということにつながったのです。

そのため、納得ができるようにと言われましても
この段階で納得がいかない状況に陥っています。

よろしくお願いします。