存在範囲の面積（ベクトル）

質問

OA=3　OB=4　角AOB＝６０度　の三角形OABにおいて、
OA→＝a→　OB→＝b→
OR→＝ｓ・a→＋t・b→　とおくとき、
０≦3s＋2t≦３　　０≦t≦２　と満たすRの存在範囲の面積を求めよ、
という問題で、答えが「１２√１３」と言われましたが、どこからそう言う答えが出てくるのかわからなくて・・・
どなたか、解説お願いします。

回答No.4

nettiw · ベストアンサー

方針は幾つかあります。
＃＃　↑ｐ＝ｓ↑ａ＋ｔ↑ｂ　かつ　ｓ＋ｔ＝１　のとき、
　　　　点Ｐは、点Ａと点Ｂを通る直線を描く。

この方針に沿って前半を書きます。

　>>0≦3s+2t≦3　
　>>0≦s+(2/3)t≦1

　更に変形します。

s+(2/3)t=p　かつ　0≦p≦1　と置いて、
両辺をpで割ります。（割りたい。）

（１）p=0 のときは割れません。
s+(2/3)t=0 のままです。（後述）

（２）0＜p≦1のときは、
s(1/p)+t(2/3p)=1　（Ａ）

この変形をする理由は、＃＃を利用するためです。

ここで、
↑OR=s↑a+t↑b　も変形します。
↑OR=[s(1/p)][p↑a]+[t(2/3p)][(3p/2)↑b ]　
　　と変形出来て、

係数の和は（Ａ）により、[s(1/p)]＋[t(2/3p)]＝１　となります。
つまり点Ｒは、
[p↑a]の終点と、[(3p/2)↑b ]の終点を通る’直線’を描きます。（Ｂ０）

>>OBの長さが3/2倍。

p=1の時は、点Ｒは、
[↑a]の終点と、[(3/2)↑b ]の終点を通る’直線’を描きます。（Ｂ１）

p=(1/2)の時は、
[(1/2)↑a]の終点と、[(1/2)(3/2)↑b ]の,,,,（Ｂ２）

pが変化しても、全ての直線（直線群）は平行です。
pが0に近づくと、直線は原点に近づきます。

さて、後回しにした、（１）p=0 のときでが、
　　　s+(2/3)t=0　 →　s=-(2/3)t
↑OR=-(2/3)t↑a+t↑b=-(2/3)t[↑a-(3/2)↑b ]となります。（Ｂ３）
（Ｂ１）は
　　　　s+(2/3)t=1　→　　s=1-(2/3)t
↑OR=s↑a+t↑b　
↑OR=[1-(2/3)t]↑a+t↑b=↑a-(2/3)t[↑a-(3/2)↑b ]　（Ｂ１）

（Ｂ３）と（Ｂ１）の違いは、原点Ｏを通るか、
↑aの終点を通るかであり、
ふたつ（全て）の直線は平行です。

＊＊　[↑a-(3/2)↑b ]を直線の方向ベクトルと見ると判り良いかもしれません。

>>三角形を作ることはわかります。

とありますが、三角形はつくりません。
三角形を作るのは、終点と終点を結ぶ　’線分’のときで、
その場合には s≧0,t≧0 なる条件が付きます。

いまは、この条件は、ありませんから、

　　　[↑a]の終点と、[(3/2)↑b ]の終点通る’直線’と
この直線に平行な原点を通る直線に挟まれれた領域となります。

-----------
後半は、
>>０≦t≦２の扱いを。

↑OR=s↑a+t↑b

sは任意の値で、
tだけが制約されています。

直線↑OR=s↑a　と、直線↑OR=s↑a+２↑b　で挟まれた領域です。

↑OR=s↑a　はｘ軸を意味します。

↑OR=s↑a+２↑b　はｘ軸より上方へ２↑b移動した直線です。

座標で書くと、
｜２↑b｜＝８　、↑bとｘ軸のなす角は６０度で、
ｙ＝８＊sin６０度=４√３

つまり、直線ｙ＝０、と直線ｙ＝４√３に挟まれた領域となります。

----------------
上手く説明が通じていれば、図を描けば面積は求まります。

念のため、比喩的に書くと、二本の道路が在って、斜めに交わり、交差点が平行四辺形となって、交差点の面積を求めると。

＼　　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　――――――――――――――　←４√３
　　　＼　　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　＼　　　　＼　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　＼　　　　＼　　
　　　　　　　　　＼　　　　＼　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　＼　　　　＼　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　＼　　　　＼　　　　　　
　　　　　　　　　　　―――Ｏ―――――　←０
　　　　　　　　　　　　　　　　　＼　３　＼

お礼

ありがとうございました。
どうも、この関連問題は苦手で(^_^; アハハ…
１２√１３，と間違った答えが回答例にあったのも、
混乱の一因だったように思います。
またわからないことがあったら、アドバイスお願いします。

回答No.3

staratras

途中は計算だけなので大まかな方針を示します。∠ＡＯＢ＝６０°より
ＯＡ→=(3/2,3√3/2) ＯＢ→=(4,0) となるように座標を定めると
ＯＲ→=(3s/2+4t,3√3s/2)
x=3s/2+4t,y=3√3s/2
これをｓとｔについて解くと
s=(2√3/9）y
t=(1/4)ｘ-(√3/12)y
これをs,tに関する二つの与えられた不等式に代入すると
R(x,y)の存在範囲が求められます。
長辺が４√３、短辺が３の長方形になるので面積は１２√３

お礼

ありがとうございました。
助かりました。

補足

ありがとうございました。
助かりました。

回答No.2

0lmn0lmn0

質問の意図が判然としませんが、

（１）　解法/領域図
（２）　答

（２）であるならば、
計算結果は、１２√１３ではなくて、
３＊８＊sin６０度＝１２√３　となります。

（１）であるならば、この回答の補足欄に、ある程度の思考過程を明示して、その旨を伝えられれば、聡明な回答者(excluding me)の方々が・・・。

お礼

ありがとうございました。

補足

説明不足で申し訳ありません。
まず０≦3s＋2t≦３を０≦s＋2/3・t≦１と変形して、OBの長さが3/2倍の三角形を作ることはわかります。
ただ、０≦t≦２の扱いをどうしたものか・・・と。
私も√１３という数字がどうしても出てこなくて、困惑しております(◎-◎)

回答No.1

koko_u_

もちろん、存在範囲は図示できたんだよね。

補足

説明不足で申し訳ありません。
存在範囲自体があいまいなんです。
０≦t≦２　という条件の扱いがどうなるのかと・・・