ベクトル、垂心

質問

三角形ＯＡＢの辺ＯＡを1:2に内分する点をＣ、辺ＯＢを２:1に内分する点をＤとし、線分ＢＣとＡＤの交点をＰとする。また、→ＯＡ=→ａ、→ＯＢ=→b。
→ＡＰ=s→ＡＤとおくとき、→ＯＰ=（ア－s）→ａ＋イ/ウs→b…(1)

また、→ＢＰ=t→ＢＣとおくとき、→ＯＰ=エ/オｔ→ａ＋（カ－t）→b…(2)である。
(1)(2)からs=キ/ク、ケ/コとなる。さらに、点Ｐが三角形ＯＡＢの垂心になるとき、∠ＡＯＢ=θ（０゜＜θ＜１８０゜）とするとcosθ=√サ/シである。

ア１ イ/ウは2/3、エ/オは1/3、カ１、キ/クは6/7、ケ/コは3/7と分かったのですが、サとシが分かりません。

Ｐが三角形ＯＡＢの垂心だから→ＯＡ⊥→ＢＣかつ→ＯＢ⊥→ＡＤまでは分かるのですが、ここからどうやって、cosθにもっていくのですか。

回答よろしくお願いします。（見づらくて申し訳ないです）

回答No.1

Mr_Holland

「→ＯＡ⊥→ＢＣかつ→ＯＢ⊥→ＡＤ」からは、これをベクトルの内積の式に置き換えて下さい。

　　→ＯＡ・→ＢＣ=0 かつ →ＯＢ・→ＡＤ=0

　ここから 内積→a・→b、|→a|, |→b|の関係が得られます。

　あとはこの関係を使って　cosθ=(→a・→b)/(|→a||→b|)　を簡単にすれば答えが得られます。

　ポイントはベクトルの内積です！