数学確率の質問です。

質問

袋の中に数字1,2,3を書いたカードがそれぞれ1枚ずつ入っている。
袋の中から1枚のカードを無作為に取り出し、数字を控え袋に戻すという試行をn回行い、控えた数字n個の積をI_(n)とする。
このときI_(n)が6の倍数でない確率を求めよ。

この問題で解答は６の倍数でない確率を求めています。
(i)1,2,3のうちの1つのみが出る。・・・1通りずつ
(ii)1と2のみが出る。
(iii)1と3のみが出る。
(ii),(iii)はともに(2^n-2)通り。

６の倍数である確率を直接求める計算式はどうなるのでしょうか？

回答No.3

deshabari-haijo · ベストアンサー

質問内容から、n回の試行でI_(n)が6の倍数でない場合は、
1×3+(2^n-1)×2={2^(n+1)-1}通りであるから、この場合の確率は、
{2^(n+1)-1}/3^n

よって、I_(n)が6の倍数である確率は、『余事象』の考え方から、
1-{2^(n+1)-1}/3^n={3^n-2^(n+1)+1}/3^n

これを、次のように考えてみます。
(i)から、1がn個続けて出る場合は、1通り
(ii)から、3が出ずに1または2のいずれかが出る場合は、(2^n-2)+2=2^n通りであるから、少なくとも1個は3が出る場合は、(3^n-2^n)通り
(iii)から、2が出ずに1または3のいずれかが出る場合は、(2^n-2)+2=2^n通りであるから、少なくとも1個は2が出る場合は、(3^n-2^n)通り（同上）
I_(n)が6の倍数であるのは、2と3の両方が出る場合であるから、参考URLにあるような『ベン図』で考えて、
1+(3^n-2^n)×2-3^n={3^n-2^(n+1)+1}通り
よって、I_(n)が6の倍数である確率を直接求める計算式は、
{3^n-2^(n+1)+1}/3^n
これも、結果的には『余事象』で考えていることになります。

なお、n=3のとき、少なくとも1個は3が出る場合は、
3C1×2^2+3C2×2^1+3C3×2^0=3×4+3×2+1×1=12+6+1=19通り
これを、『余事象』の考え方で求めると、3^3-2^3=27-8=19通り
また、n=4のとき、少なくとも1個は3が出る場合は、
4C1×2^3+4C2×2^2+4C3×2^1+4C4×2^0=32+24+8+1=65通り
これを、『余事象』の考え方で求めると、3^4-2^4=81-16=65通り
以上の内容を踏まえ、n回の試行で少なくとも1個は3が出る場合の一般式は、
Σを用いて表すと、Σ[k=1～n]{nCk×2^(n-k)}
『余事象』の考え方を用いないで、これから(3^n-2^n)を導き出すことは、困難ではないかと思われます。

参考URL：

https://wa3.i-3-i.info/word16509.html

回答No.4

deshabari-haijo

ANo.3を『ベストアンサー』に選んで頂いた後で大変恐縮ですが、一部にタイプミスがありましたので訂正します。
質問文からそのままコピーペーストすればよかったのですが、自分でも何故わざわざタイプしたのか分かりません。
なお、後の計算には全く支障ありません。

※上から2行目
誤：「1×3+(2^n-1)×2={2^(n+1)-1}通りであるから」→
正：「1×3+(2^n-2)×2={2^(n+1)-1}通りであるから」

回答No.2

molly1978

>(i)+(ii)+(iii)-1の、-1はどういう意味でしょうか？

集合で考えて下さい。
1は全体確率です。
2が出るが3は出ない確率をA
3が出るが2は出ない確率をB
2,3ともに出る確率をC
2も3も出ない確率をD
とすると、
(i)=D
(ii)=B+C
(iii)=A+C
A+B+C+D=1
(i)+(ii)+(iii)=D+B+C+A+C=1+C
C=(i)+(ii)+(iii)-1
つまり、(i)+(ii)+(iii)では2,3ともに出る確率が二重になっているのです。

回答No.1

molly1978

(i)は、2,3が一つも出ない確率
(ii)は、3が出る確率
(iii)は、2が出る確率
6の倍数である確率は2,3がともに出る確率ですので、
(i)+(ii)+(iii)-1
となります。

補足

解答ありがとうございます！なるほど。
(i)+(ii)+(iii)-1の、-1はどういう意味でしょうか？すみませんがよろしくお願いします。