確率の求め方

質問

半径1の円に内接する正6角形の頂点をA1,A2,…,A6とする。
これらから任意に(無作為に)選んだ3点を頂点とする3角形の面積の期待値を求めよ。
ただし、2つ以上が一致するような3点が選ばれたときは、3角形の面積は0と考える。

という問題に関する質問です。
例えばこのうち正三角形になる場合の確率について、
3点の選び方　全部で　6C3=20とおり
正三角形となるとき　A1,A3,A5　または　A2,A4,A6　の2とおり
ゆえに確率は　2/20=1/10 と求めました。
どこが間違っているのでしょうか？
教えてください。

回答No.3

Quattro99 · ベストアンサー

> 異なる3点を選ぶというやり方で確率を求めることはできないのでしょうか？
> 確率の分母と分子の次元が合っていれば、そういう解き方ができないかな？
出来ないと思います。問題の条件自体が違いますから。

「異なる3点を選んだときに正三角形になる確率」を求める場合に2通りのやり方があることと混同されているのではないでしょうか。
ご質問で示された方法と、3点を選ぶ順番を考慮した方法の2通りです。
後者は具体的には、1点目に選ぶ点が6通り、2点目が5通り、3点目が4通りなので全部で6*5*4通り、このうち正三角形になるのは、1点目に選ぶ点が6通り、2点目が2通り、3点目が1通りで6*2*1通りなので確率は6*2*1/(6*5*4)=1/10というやり方です。

お礼

ご回答ありがとうございます
たぶん、おっしゃるような勘違いだと思います。それによって曲げて理解していたのだと思います。
条件が大事なんですね。当たり前ですけど。それをちゃんと守って解かないといけないですね。
そう意識して、もうちょっと考えてみます。

回答No.2

BookerL

２つ以上が一致する場合も許しているので、３点の選び方は 6^3通りになります。対称性を考えて、一点を固定し、もう２点を取る取り方の 6^2＝36通りを考えれば十分です。
　以下、もっとうまいやり方があるかも知れませんが、36通り全部考えてみてもたいしたことはないのでやってみます。

　A1 を固定し、他の２点を選んでできる三角形を考えます。点A1 などの A を省略して、単に 点1 のようにします。
　三点でできる三角形は 123タイプの二等辺三角形(アとする)、124タイプの三角形(イとする)、135タイプの正三角形(ウとする)の三通りです。それ以外の場合は、面積が０になります。
　点1 の他の２点の組み合わせと、それによってできる三角形のタイプを全部書いてみると、

　　１　２　３　４　５　６
１　０　０　０　０　０　０
２　０　０　ア　イ　イ　ア
３　０　ア　０　イ　ウ　イ
４　０　イ　イ　０　イ　イ
５　０　イ　ウ　イ　０　ア
６　０　ア　イ　イ　ア　０

それぞれの数は、アが６、イが１２、ウが２、面積０が１６ となります。

アイウそれぞれの三角形の面積を求め、

　アの面積×６ ＋ イの面積×１２ ＋ ウの面積×２

を ３６で割ったものが面積の期待値になると思います。

お礼

とてもわかりやすい解法です。ありがとうございます。表も良いですね！

補足

ところで……
＞２つ以上が一致する場合も許しているので、３点の選び方は 6^3通り
ということなのですが、異なる3点を選ぶというやり方で確率を求めることはできないのでしょうか？
確率の分母と分子の次元が合っていれば、そういう解き方ができないかな？　と気になります。

回答No.1

exodus55

えっと期待値の問題ではないのですか？

あと正三角形だけじゃなくて、例えばＡ１、Ａ２、Ａ３のように選んだら、二等辺三角形が出来ます。

こういうのを全部考えて計算しましょう。

補足

期待値を求める過程で、面積は求められたのですが、確率で間違えました。
正三角形以外の三角形もわかっていますが、どの三角形の場合の確率も間違えており、その求め方が根本的に間違っていると思います。
ひとつわかれば、どのように考えるべきなのかわかると思い、質問しました。