ある施行において、それがnである事象の確率がPnで

質問

ある施行において、それがnである事象の確率がPnで表せるとする。
(ただし、n = 0,1,2,3,•••••••)。
ここで、

Pn+1 / Pn = 20-n / 2(n+1) ••• (✽)

が成立している。
このとき、確率Pnが最大となるときのnの値を求めよ。

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という問題で回答を見ると、

( i ) Pn+1 / Pn > 1

( ii ) Pn+1 / Pn = 1

( iii ) Pn+1 / Pn < 1

と場合分けされているのですが、この"1"という数字はどのように出されたのでしょうか？
"0"などの他の数字ではいけない理由を教えてください。

回答No.5

hue2011

１、という数字をかんがえるからいけないのです。

Pn　＝ Pn+1
のときが、Pn+1/Pn=1
というときです。ただそれだけのことです。

nを一つ増やしても確率が同じであれば、その比は1であるのは当然ですね。
だから、最大になるときというのは
Pn+1>Pnというのが途切れたときです。
つまり

Pn+1/Pn >1の間はnが増えると確率が増えます。
Pn+1/Pn <1になると、確率が減ってきます。

Pn+1/Pnが 20-n / 2(n+1)・・・のような級数です。
・・・がどうなっているかわかりませんけど、最初の項はnが増すとどんどん減っていきます。
だから最初の項だけなら、最大となるnはゼロになります。
当然第2項目以降が、増加したりする計算式になっているでしょう。

しかし、nが2次3次式になっていない限り、それぞれの項は増加か減少か一方向にしか推移しません。
ですからどこかにPn+1=PnつまりPn+1/Pn=1になる点がないかと考えれば答えが出るという仕組みです。

回答No.4

noname#223095

( i ) Pn+1 / Pn > 1

において，Pn+1 / Pnというのは，分数の式で，分子がPn+1，分母がPnということを表しています．これはよいでしょうか・・・？　そして，この分数の値が１より大きいということは，分子のPn+1の方が分母のPnより大きいことを表しています．そのことを式の変形を通して導くには，分数の不等式

　　　　　Pn+1 / Pn > 1・・・(1)

の両辺にPnをかけて分母を払えばよい訳です．すると，

　　　　　Pn+1 > Pn・・・(1)’

となり，先程申し上げた「分子のPn+1の方が分母のPnより大きいことを表しています」ということが出てきたことになります．(1)と(1)’は，見かけは違った式ですが，分数の形で表現するか，分数を用いないで表現するかだけの違いで，数学的には同じことを言っています．例えば，

　　　　　x^2<x^2+1 (ここで，x^2はxの二乗を表しています)

が明らかに成り立ちますが，この式の両辺をx^2+1で割ると，

　　　　　x^2/(x^2+1)<1

という分数式の不等式になりますが，この式と先程の式は形は違え，同じことを表しています．

話を元に戻しますが，(1)と(1)’は同じ内容を表す式だから，(1)’が成り立つようなnを調べるには，(1)が成り立つようなnを調べてやればよい訳です．

(✽)を用いて，(1)を具体的に書くと，

　　　　　20-n / 2(n+1)> 1

この不等式の両辺に2(n+1)をかけて分母を払うと，

　　　　　20-n>2(n+1)

この1 次不等式をnについてとくと，

　　　　　n<6

が成り立ちます．つまり，n=0, 1, 2, 3, 4, 5のときに(1)が，したがって(1)’が成り立つということです．そこで，(1)’の式にn=0, 1, 2, 3, 4, 5を入れたときの式を書き出すと，

　　　　P1>P0, P2>P1, P3>P2, P4>P3, P5>P4, P6>P5,

となるが，これを見やすく書き直してやると，

　　　　P0<P1 <P2<P3<P4<P5< P6

となります．以上で( i )の場合が終わりました．

同様に( ii ) Pn+1 / Pn = 1をします．これは Pn= Pn+1の場合を調べることに他なりません．

　　　　　20-n / 2(n+1) = 1

先と同様，分母を払って，

　　　　　20-n=2(n+1)

これを解いて，n= 6，つまり，n= 6のとき，Pn= Pn+1が成立．つまりP6 = P7です．
これで( ii )の場合が終わりです．

同様にして，Pn+1 < Pnすなわち，( iii ) Pn+1 / Pn < 1をやればよいのです．同様にして，これはn>6のとき成り立つことがわかり，これより

　　　　　P7>P8>P9>P10>・・・

が分かります．

( i )，( ii )，( iii )の結果をまとめて書くと，

　　　　　P0<P1<P2<P3<P4<P5<P6=P7>P8>P9>P10>・・・

以上より，Pnが最大となるnは　n=6, 7 です．

参考になりましたら．

回答No.3

atkh404185

追加です。

与えられた条件式が

Pn+1 / Pn = 20-n / 2(n+1) ••• (✽)　（← Ｐn+1/Ｐn と分数で表記している）

だから、質問の(i)、(ii)、(iii)

のように、場合分けしているのだと思います。

別に、

(i)　Ｐn＜Ｐn+1 のとき

(ii)　Ｐn＝Ｐn+1 のとき

(iii)　Ｐn＞Ｐn+1 のとき

と、場合分けしてもかまいません。

回答No.2

atkh404185

「施行」ではなく「試行」だと思いますが・・・・。

結論から言うと、

例えば、

（ア）　Ｐ1＜Ｐ2＜Ｐ3＜・・・・・＜Ｐ10＜Ｐ11＞Ｐ12＞Ｐ13＞・・・・・・

や

（イ）　Ｐ1＜Ｐ2＜Ｐ3＜・・・・・＜Ｐ8＝Ｐ9＞Ｐ10＞Ｐ11＞・・・・・・

のように、不等式が成り立てば、

（ア）では、Ｐ11 が最大になることがわかり、

　n の最大値は n＝11 です。

また、

（イ）では、Ｐ8、Ｐ9 が最大になることがわかり、

　n の最大値は　n＝8，9 です。

（ア）では、

n＝1，2，3，・・・・・・，10 のとき

　　　Ｐn＜Ｐn+1

が成り立ち、両辺を Ｐn で割ると 1 ＜Ｐn+1/Ｐn

つまり、質問の(i)

になり、

n＝11，12，13，・・・・・・ のとき

　　　Ｐn＞Ｐn+1

が成り立ち、両辺を Ｐn で割ると 1 ＞Ｐn+1/Ｐn

つまり、質問の(iii)

になります。

また、（イ）では、

n＝1，2，3，・・・・・・，7 のとき

　　　Ｐn＜Ｐn+1

が成り立ち、両辺を Ｐn で割ると 1 ＜Ｐn+1/Ｐn

つまり、質問の(i)

になり、

n＝8 のとき

　　　Ｐn＝Ｐn+1

が成り立ち、両辺を Ｐn で割ると 1 ＝Ｐn+1/Ｐn

つまり、質問の(ii)

になり、

n＝9，10，11，・・・・・・ のとき

　　　Ｐn＞Ｐn+1

が成り立ち、両辺を Ｐn で割ると 1 ＞Ｐn+1/Ｐn

つまり、質問の(iii)

になります。

以上のことから、

質問にあるような、

(i)、(ii)、(iii)

の場合分けになるのです。

回答No.1

f272

Pn+1 / Pn > 1
を変形すると
Pn+1 > Pn
です。確率Pnが最大となるときを求めたいのだからPn+1 と Pnの大小関係を調べるのは当然では？