確率 反復試行

質問

1～ｎまでの番号を書いたｎ枚のカードから一枚を取り出し、それを元に戻す
これを4回繰り返した時（ただしｎは自然数）
（1）同じ番号のカードを続けて2回以上取り出す確率ｐ
（2）同じ番号のカードを続けて2回以上取り出すが、3回以上は取り出さない確率ｑ
を求めよ。

（1）
・ｎ＝1のとき
　必ず2回以上連続するので　p=1

・ｎ≧2のとき
　　(i)2回連続するとき（○：同じカード　□：それ以外のカードとすると）
　　　　（ア）○○□(□/○)　（イ）□○○□　（ウ）(□/○)□○○

　　　　（ア）（ウ）のとき　その確率は(n-1)/n^2
　　　　（イ）のとき　その確率は(n-1)^2/n^3
　　　　よって2回連続する確率は　2×(n-1)/n^2 + (n-1)^2/n^3=(n-1)(3n-1)/n^3

　　(ii)3回連続するとき（○○○□、□○○○のとき）
　　　　その確率は2(n-1)/n^3

　　(iii)4回連続するとき
　　　　　その確率は1/n^3

以上より求める確率は(i)+(ii)+(iii)から ｐ=(3n-2)/n^2　（これはn=1も満たす）
としたのですが、ここでn=2とするとｐ=1　　　　1・・・( ゜Д゜ ）？
（1,2,1,2)という出方もあるから明らかに僕の解答は間違っているのですが
それがどこか分かりません。どなたか添削お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

じゃあ，そのn=2のときに(1,1,2,2)という出方は(i)(ア)なの？それとも(i)(ウ)なの？

お礼

あーーー！
わかりましたｗ
そこが重複してたわけですね
素早い回答ありがとうございます

補足

途中で送信してしまいまったので補足のほうで失礼します

ということで考え直してみました
（ア）の場合
　（1回目、2回目、3回目、4回目）とすると
　（ｎ通り、1回目と同じ1通り、1・2回目以外のｎ-1通り、3回目以外のｎ-1通り）
　で、(n-1)^2/n^3
（ウ）の場合も同様にして（n-1)^2/n^3
これで（ア）かつ（ウ）の場合は除いたので
（エ）（○○△△）の場合（○、△：同じカード）を考える
　　同様にして
　（ｎ通り、1回目と同じ1通り、1・2回目以外のｎ-1通り、3回目と同じ1通り）
　で、(n-1)/n^3

よって2回連続する確率は(n-1)(3n-2)/n^3
最初に間違えた（ア）（ウ）から（エ）を引いても同じですね
合ってるような気がしてきましたｗ

よって2回連続する確率は　(n-1)(3n-2)/n^3
以上より2回以上連続する確率ｐは
ｐ=(3n^2-3n+1)/n^3
これでどうでしょうか？

回答No.2

plus03

質問の意図とは少し違いますが，
余事象で考えてみてはどうでしょうか？
余事象と普通と両方計算するのは
時間があるなら検算としてとても有効です

ｎ≧２のとき　２回以上連続しない場合を考える

１回目は何でもよい　（仮にＡを引いたとする）
２回目はＡ以外の何でもよい　（仮にＢを引いたとする）
３回目はＢ以外の何でもよい　（仮にＣを引いたとする
　　　　　　　　　　　　　　　このときＡ＝Ｃでも可）
４回目はＣ以外の何でもよい　（仮にＤを引いたとする
　　　　　　　　　　　　　　　このときＡ＝Ｄ，Ｂ＝Ｄでもよいが
　　　　　　　　　　　　　　　Ａ＝Ｃ＝Ｄとはならない）
確率は
１回目　n/n＝１
２,３,４回目　(n-1)/n
より確率は{(n-1)/n}^3

ゆえに２回以上連続する確率は
１－{(n-1)/n}^3＝(3n^2-3n+1)/n^3
これで求めたものと一致してればほぼ100%あってます

お礼

問題の流れからいっても（1）で余事象、（2）で2回連続のときを具体的に考える
って感じですね。
僕はいつも「規則性さえみつければ直接考えても大した手間じゃない」と
余事象を考えない悪い癖がありますｗ
大変参考になりました。

素早いヒントを与えてくれた＃1さん
具体的な解法を与えてくれた＃2さん
どっちも良回答としたいのですが、今回は先着順とさせて頂きました。
回答本当にありがとうございます