確率

質問

１０本のくじの中に2本の当たりくじがある。
このくじを繰り返し引き、当たりくじを2回引いたところで終わるものとする。
ただし、1度引いたくじは毎回元に戻す。
n回目を引いて終わる確率をPnとする。

(1)Pn (n≧2)をもとめる
Pn={（(n-1)C1)*(1/5)*(4/2)＾(n-2)}*1/5という式がどのように出たのか分かりません。

(2)Pnが最大となるnを求めよ
(p n＋1)/Pn≧1は公式ですか？
n≦5とどうしていえるのですか？

回答No.2

quantum2000 · ベストアンサー

(1) 「ｎ回目で終わる」という状態は，
　　「ｎ－１回目までに当たりくじの１本目（だけ）を引き， ・・・ (A)
　　かつ，ｎ回目に２本目を引く． ・・・ (B)」
　　ということです．（ ｎ≧２ ）

　　ここで，１回のくじ引きにおいてはいつでも，
　　　　（当たりくじを引く確率） 　　＝ １／５
　　　　（当たりくじを引かない確率） ＝ ４／５
　　ですから，(A) の確率は（反復試行の確率の考え方で），
　　　　 n-1Ｃ1 ＊ (１／５)^1 ＊ (４／５)^(n-2)
　　　＝ n-1Ｃ1 ＊ (１／５) ＊ (４／５)^(n-2)
　　また，(B) の確率は，
　　　　 １／５

　　すると，求める確率Ｐn は（(A)の確率 × (B)の確率　ですから），
　　　　Ｐn ＝ ｛n-1Ｃ1 ＊ (１／５) ＊ (４／５)^(n-2)｝ ＊ (１／５)
　　　　　　＝ (ｎ－１) ＊ (１／５)^2 ＊ (４／５)^(n-2)
　　となります．

(2) そうすると，
　　　　Ｐn+1 ＝ ｎ ＊ (１／５)^2 ＊ (４／５)^(n-1)
　　ですから，
　　　　Ｐn+1 ／ Ｐn ＝ ４ｎ ／ ５(ｎ－１)　　・・・ (C)
　　となります．

　　すると，ｎ≦５ では，Ｐn+1 ／ Ｐn ≧ １　　・・・ (D)
　　ですが，ｎ＞５ では，Ｐn+1 ／ Ｐn ＜ １　　・・・ (E)
　　（実際，ｎ→∞ のとき，Ｐn+1 ／ Ｐn → ４ ／ ５ となっています．）
　　注：なぜ，(D) が言えるかというと，
　　　　　　Ｐn+1 ／ Ｐn ≧ １
　　　　ならば，(C) より，
　　　　　　４ｎ ／ ５(ｎ－１) ≧ １
　　　　すると，
　　　　　　　　　　　　　４ｎ ≧ ５(ｎ－１)
　　　　　　　　　 ４ｎ－ ５ｎ ≧ －５
　　　　　　　　　　　　　－ｎ ≧ －５
　　　　　　　　　　　　　　ｎ ≦ ５
　　　　となります．これは，逆にたどれますので，
　　　　　　ｎ≦５ では，Ｐn+1 ／ Ｐn ≧ １　　・・・ (D)
　　　　が言えます．

　　すると，(D)，(E) は具体的には，
　　　　Ｐ2 ≦ Ｐ3 ≦ Ｐ4 ≦ Ｐ5 ≦ Ｐ6 ＞ Ｐ7 ＞ Ｐ8 ＞ ・・・
　　ということを表しているので，
　　Ｐn の最大値は，Ｐ6 ？ ということになります．

　　正確には，ｎ≦４ のとき，Ｐn+1 ／ Ｐn ＞ １
　　　　　　　ｎ＝５ のとき，Ｐn+1 ／ Ｐn ＝ １
　　　　　　　ｎ≧６ のとき，Ｐn+1 ／ Ｐn ＜ １
　　ということなので，正確には，
　　　　Ｐ2 ＜ Ｐ3 ＜ Ｐ4 ＜ Ｐ5 ＝ Ｐ6 ＞ Ｐ7 ＞ Ｐ8 ＞ ・・・
　　となっています．

　　ですから，Ｐn の最大値は，実はＰ5(＝ Ｐ6 ＝ ４^4 ／ ５^5 ) なので，
　　求める答えは，
　　　　ｎ ＝ ５，６
　　ということになると思います．

お礼

返事が遅くなってすいません。
親切な回答どうもありがとうございました。
こんか考え方もあるんですね。
参考になりました

回答No.1

kakkysan

(1)n回目を引いて終わるわけですから
n-1回目までに１度あたり…(n-1)C1*(1/5)*(4/5)＾(n-2)
n回目に当たる…1/5
上記２つの確率を掛けると、n回目で終わる確率Pnが得られます。

(2)Pnの形のまま、Pnが最大となるようなnを求めるのは大変ですから、
(Pn＋1)/Pn＝{n/(n-1)}*(4/5)　を利用する事にします。
P2、P3、…、Pn、Pn＋1、…の隣り合う２項の大きさを比べる
例えば、P1とP2のどちらが大きいかを調べるには、差をとる方法も有りますが、P2/P1の様に比でも調べる事が出来ます。
P3/P2＝2*(4/5)＞1　ですから　P2＜P3
以下
Pn<=Pn＋1となる最大のｎを求めればよい
そのためには
(Ｐn＋1)/Ｐn≧1　を満たす最大のｎを求める
(Pn＋1)/Pn＝{n/(n-1)}*(4/5)≧1　　より
n≦5

以上少しわかりにくいかも知れません。

P3/P2、P4/P3、P5/P4、P6/P5、…を具体的に計算してみると納得がいくでしょう。