確率の最大値

質問

1から10までの数を1つずつ書いた10枚のカードから、1枚のカードを取り出してはもとに戻すことを、同じカードを取り出すまで繰り返す。n回目に終わる確率Pnを求めよ。
また、Pnを最大にするnの値を求めよ

解説読んでもわかりません。笑
答えはPn={10・9・8・・・・(12-n)(n-1)}/(10^n)
n=4です。

解説お願いします
よろしくお願いします。(・・;)

回答No.2

noname#181872

この手の確率の問題でわからなくなったら、n=1だったらどうなるか、
2だったらどうなるかってとりあえず手をつけてみたら？

この問題、まずn=1のときのPnはどうなるかというと、
1枚目で前と同じカードを引くなんてことはないから、Pn=0になります。

で、n=2のときのPnはというと、1枚目に引いたカードと同じカードを
2枚目に引いたと言うこと。つまり1枚目には何を引いてもいいので、10/10、
2枚目は1枚目と同じカードを引かなければならないので、1/10。
この積になります。

そして、n=3のときのPnはというと、1枚目はどれを引いても良い。
2枚目は1枚目と同じのを引いたらそこで終わってしまうので、
それ以外の9枚。3枚目は1枚目か2枚目に引いたカードと同じカードを
引かなければならない。

という風に考えていくと、Pnが求められそうな気がしませんか？
つまり（n-1）回目まではかぶらないように引く、
n回目に今まで引いたのと同じカードを引くようにする、
ということです。

Pnを最大にするnについては#1さんが書いているので省略。

回答No.1

yyssaa

＞n回目に終わるということは(n-1)回目までは別々のカードを取り出し、
n回目に(n-1)回目までのカードのいずれかと同じカードを取り出すと
いうこと。
10枚のカードから(n-1)枚を選ぶ選び方は10_C_(n-1)通り。
それらの(n-1)枚の並べ方は(n-1)!通り。
10枚のカードから重複を許して(n-1)枚のカードを取り出す取り出し方は
全部で10^(n-1)通り。
よって、(n-1)回目まで別々のカードを取り出す確率は
{10_C_(n-1)}*(n-1)!/10^(n-1)=[10!/{(n-1)!(10-n+1)!}]*(n-1)!/10^(n-1)
=10!/{(11-n)!*10^(n-1)}=10*9*8*・・・*(12-n)*(11-n)!/{(11-n)!*10^(n-1)}
=10*9*8*・・・*(12-n)/10^(n-1)
n回目に(n-1)回目までの(n-1)種類のカードのいずれかと同じカードを
取り出す確率は(n-1)/10。
よって、Pn={10*9*8*・・・*(12-n)/10^(n-1)}*{(n-1)/10}
=10*9*8*・・・*(12-n)*(n-1)/10^n・・・答
P_n+1＜Pn＞P_n-1を満たすPnを求める。
P_n+1=10*9*8*・・・*(11-n)*n/10^(n+1)
Pn-P_n+1=10*9*8*・・・*(12-n)*(n-1)/10^n-10*9*8*・・・*(11-n)*n/10^(n+1)
=10*10*9*8*・・・*(12-n)*(n-1)/10^(n+1)-10*9*8*・・・*(12-n)*(11-n)*n/10^(n+1)
=10*9*8*・・・*(12-n)*{10*(n-1)-(11-n)*n}/10^(n+1)
=10*9*8*・・・*(12-n)*(n^2-n-10)/10^(n+1)
上式よりPn-P_n+1＞0の条件はn^2-n-10＞0、n^2-n-10=0の解n={1±√(1+40)}/2
=(1±√41)/2よりn＞(1+√41)/2≒3.7・・・・・(ア)
同様にPn-P_n-1=10*9*8*・・・*(12-n)*(n-1)/10^n-10*9*8*・・・*(13-n)*(n-2)/10^(n-1)
=10*9*8*・・・*(13-n)*(12-n)*(n-1)/10^n-10*9*8*・・・*(13-n)*(n-2)/10^(n-1)
=10*9*8*・・・*(13-n)*(12-n)*(n-1)/10^n-10*10*9*8*・・・*(13-n)*(n-2)/10^n
=10*9*8*・・・*(13-n)*{(12-n)*(n-1)-10*(n-2)}/10^n
=10*9*8*・・・*(13-n)*(-n^2+3n+8)/10^n、n^2-3n-8=0の解n={3±√(9+32)}/2より
Pn-P_n-1＞0の条件は-n^2+3n+8＞0でありn＜(3+√(41)/2≒4.7・・・・・(イ)
(ア)(イ)の共通範囲の整数よりn=4・・・答