余事象の確率

質問

[問い]
ある学校では毎日、A,B,C,D,Eの5曲の中から異なる3曲を無作為に選んで昼休みに放送している。
nを自然数とする。n日間でどの曲も少なくとも1度は放送される確率を求めよ。

[解説]
余事象は「1曲か2曲が放送されない」である。
Aが放送されない確率は(2/5)^nであり、ここから「Aを含む2曲が放送されない確率」 --(1)を
引けば、「Aだけが放送されない確率」 --(2)となる。

Aを含む2曲はAB,AC,AD,AEの4通りがあり、n日間で例えばAとBがいずれも放送されない確率は
(1/10)^n --(3)であるから
(1) -- 4*(1/10)^n
(2) -- (2/5)^n - 4*(1/10)^n
特定の1曲だけが放送されない確率は(2)で、1曲は5通りあり、また特定の2曲が放送されない
確率は(3)で、その2曲の組み合わせは5C2=10通りであるから、求める確率は
1 - 5*{(2/5)^n - 4*(1/10)^n} - 10*(1/10)^n
= 1 - 5*(2/5)^n + (1/10)^(n-1)

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自力で解けなかった上に、解説まで理解できず、踏んだり蹴ったりです。
イ:余事象がなぜ「1曲か2曲が放送されない」となるのか。
ロ:「Aが放送されない確率」から更に「Aを含む2曲が放送されない確率」を引くとはどういう事か。
ハ:ロから導かれるのが「Aだけが放送されない確率」になるのはなぜか。

もう全く分かりません。

宜敷お願いします。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.4です。この問題は以下のように考えることもでき、こちらの方がわかりやすいかもしれません。

1日に放送されない曲数は2曲なので、n日間にある特定の曲(例えばA)が放送されない確率は(2/5)^nである。

ただしこの中には、Aだけがn日間放送されない確率だけでなく、Aと別のある曲(例えばB)の合計２曲がn日間放送されない確率も含まれる。

そこでA,B,C,D,Eがn日間少なくとも1度は放送される確率を求めるために１－５＊(2/5)^nと計算すると、n日間2曲が放送されなかった場合の確率を二重に引いてしまうことになる。

特定の2曲(例えばAとB)がn日間放送されない確率は、ある1日に放送しない2曲の組み合わせは全部で10通りあるので(1/10)^nである。これがAB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DEの10通りあるので、n日間2曲が放送されなかった場合全体の確率は10＊(1/10)^n=(1/10)^(n-1)である。

したがってA,B,C,D,Eがn日間少なくとも1度は放送される確率は、二重に引いた分を加えた以下の式で求められる。

１－５＊(2/5)^n＋(1/10)^(n-1)

お礼

補足を書いてしまってから理解しました。
補足の「Aと他1曲の2曲の組み合わせ」が「Aを除いた4曲から3曲を選ぶ場合」の中に無いのは当たり前のことですね。
探さなくちゃならないのは「Aと他1曲の2曲の組み合わせ」ではなく「Aと他1曲の2曲の組み合わせを除いた3曲」なの
ですから。

あなたのこのNo.5の説明でやっと理解できました。ありがとうございました。

補足

「n日間にAが放送されない確率(2/5)^n」の中に
「Aと他1曲(例えばB)の2曲が放送されない確率(1/10)^n」が含まれるとなぜ分かるのですか。

No.2の補足でも言った通り、「Aが放送されない確率」は、
(Aを除いた4曲から3曲を選ぶ場合=4C3)/(A,B,C,D,Eの5曲から3曲を選んだ場合=5C3)
これがn日間であるから
{(Aを除いた4曲から3曲を選ぶ場合=4C3)/(A,B,C,D,Eの5曲から3曲を選んだ場合=5C3)}^n

この分子の「Aを除いた4曲から3曲を選ぶ場合=4C3」とはBCD,BCE,BDE,CDEの4つで、この中には
どうみてもAは含まれていないように見えますし、「Aと他1曲の2曲の組み合わせ」も見あたら
ないように思うわけで、したがって、「『n日間にAが放送されない確率』から『n日間にAと他1曲の
2曲が放送されない確率』を引かなくちゃいけないな」とはとても思えないのですが。

回答No.4

staratras

＞「n日分のAが放送されない確率」から「n日分のAを含む2曲が放送されない確率」を引くということは、「n日分のAが放送されない確率」の中にはまだAが放送される場合があると考えるということですか。

そうではありません。「n日分のAが放送されない確率」のなかには、「n日間Aだけが放送されない確率」だけでなく「n日間Aとほかの何か一つの曲(つまりB,C,D,Eのうちのどれか1曲)の合計2曲が放送されない確率」も含まれています。

したがって「n日間Aだけが放送されない確率」を求めるには、「n日間Aが放送されない確率」から「n日間Aとほかの何か一つの曲(つまりB,C,D,Eのうちのどれか1曲)の合計2曲が放送されない確率」を引く必要があります。

なぜ「n日間Aだけが放送されない確率」を求める必要があるかといえば、求めたいのは、すべての曲が少なくとも1度は放送される確率だからです。

そのためには余事象の考え方で、１からｎ日間(Aだけが放送されない確率+Bだけが放送されない確率+Cだけが放送されない確率+Dだけが放送されない確率+Eだけが放送されない確率＋特定の2曲が放送されない確率)をひく必要があるからです。

「○だけが放送されない確率」と「特定の2曲が放送されない確率」は互いに独立でダブリがないのでこのように計算可能です。

なお特定の2曲とは、AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DEの10通りです。

回答No.3

oze4hN6x

解説中にある「Aが放送されない確率」というのは、「『n日間で』Aが放送されない確率」のことですよ。

No. 2の補足コメント中で述べられている「Aが放送されない確率」は、ある1日においてAが放送されない確率のことです。計算すると 2/5 ですね。これがn日間繰り返されると、n日間でAが放送されない確率として (2/5)^n が得られます。解説で与えられている確率ですね。

補足

n日分のAが放送されない確率:(2/5)^n
n日分のAを含む2曲が放送されない確率:(1/10)^n

そこは分かりました。
それで、「n日分のAが放送されない確率」から「n日分のAを含む2曲が放送されない確率」
を引くということは、「n日分のAが放送されない確率」の中にはまだAが放送される場合が
あると考えるということですか。

回答No.2

oze4hN6x

イ：
「全曲が少なくとも1度は放送される」の余事象は「放送されない曲が1曲以上ある」ですね。5曲のうち3曲を放送しているのですから、放送されない曲の数は3曲以上にはなりえません。したがって、余事象は「1曲か2曲が放送されない」となります。

ロ：
「Aが放送されない」というのは、イで考えた放送されない1曲か2曲の中にAが含まれるということですね。つまり、放送されない1曲がAである(Aだけが放送されない)場合と、放送されない2曲にAが含まれる場合です。

ハ：
ロが分かれば分かりますね。

補足

「Aが放送されない確率」から「Aを含む2曲が放送されない確率」を引くということは、
「Aが放送されない確率」の中にまだAが放送される場合あり得るということですか。

「Aが放送されない確率」というのは、
(Aを除いた4曲から3曲を選ぶ場合=4C3)/(A,B,C,D,Eの5曲から3曲を選んだ場合=5C3)
ですよね？

Aを除外した場合の数から出した確率の中に、まだAが放送される場合があり得るのが
理解できないのです。

回答No.1

Tacosan

イ: では, あなたは何が余事象だと思ったのでしょうか?
ハ: 純粋に日本語の問題. じっくり考えてみてください.
ロ: 操作としては文章そのまま. どこが疑問でしょうか? この操作をする理由はハの通り.