確率（漸化式）

質問

ある工作機械が２日連続して故障する確率は1/3
　　　　　　　２日連続して故障しない確率は1/2
今日、この機械が故障したとすると、n日後この機械が故障しない確率を求めよ。

という問題で、n日後に故障しない確率をPnとおくと、計算過程を省くと
Pn＋1-4/7=-1/6(Pn-4/7)　※Pn＋1はPnのnをn＋1に書き換えたものです。
となり、

これを変形すると、数列{Pn-4/7}は、初項P0-4/7、公比-1/6だから
Pn-4/7=(P0-4/7)(-1/6)^n-1＋4/7
∴Pn=(-4/7)(-1/6)^n-1＋4/7

※P0とはPnにおいてn=0

となるはずだと思うのですが、参考書には
Pn=(-4/7)(-1/6)^n＋4/7
となっているんです。

ご指摘よろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

初項a、公比rの等比数列Anの一般項は

An = ar^(n-1)

であるという公式があります。
ところがこの公式は『n = 1からスタートする等比数列』のものです。
なのでn = 0からスタートする等比数列にそのまま適用できません。

n = 1からスタートすると、A10は10番目の項になりますが、
n = 0からスタートすると、A10は11番目の項になります。

つまりn = 0からスタートすると、n = 1の場合と比べて
番号が一つ増えます(公比がかけられる数が1回多くなるということです)。
よってn = 0からスタートする場合、等比数列の一般項は

An = ar^n

となります。ここでaは初項A0です。

試しにA0 = 5、r = 3として(初項5、公比3の等比数列)、An = ar^nにあてはめると

An = 5 × (3^n)

A0 = 5
A1 = 15
A2 = 45
・
・
・

という感じになります。

回答No.3

Quattro99

> n=0,1,2・・・なので、初項はP0-4/7で合っていると思います。
それなら、Pn-4/7は第n+1項ということになります。
初項P0-4/7、公比-1/6の数列の第n+1項は、(P0-4/7)(-1/6)^nです。
Pn-4/7=(P0-4/7)(-1/6)^nとなり、
Pn=(-4/7)(-1/6)^n＋4/7です。

(P0-4/7)(-1/6)^(n-1)は初項P0-4/7、公比-1/6の数列の第n項です。

回答No.1

Quattro99

> 数列{Pn-4/7}は、初項P0-4/7、公比-1/6だから
第n項がPn-4/7なら初項はP1-4/7なのでは？

お礼

n=0,1,2・・・なので、初項はP0-4/7で合っていると思います。