確率の問題です

質問

確率の問題です。kを2以上の整数とする。硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がk回になるか、あるいは、裏の出た回数がk回になった時点で終了する
(1)k≦n≦2k―1 を満たす整数nに対して、ちょうどn回で終了する確率Ｐｎを求めよ
(2)k≦n≦2k―2を満たす整数ｎに対して、Ｐn＋1/Ｐnを求めよ
(3)Ｐnの最大にするnを求めよ
ちなみに解答は
(1)Ｐn＝（n―１)！/2^n―1（ｋ―1)！（n―ｋ)！
(2) n/2（n＋1―ｋ)
(3)n＝2ｋ―2、2ｋ―1
です
全然わからないのでどなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi

#1です。
P[n+1]と P[n]は、「すぐとなりにある 2つの項」です。
この増減の様子と「微分での増減の様子」を重ね合わせてみてください。

あと、先の回答の不等式をよく考えてみてください。

お礼

いつも回答ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

面倒でも分数の分子・分母には必ず大きな括弧をつけてください。

(1)
「k≦n≦2k-1を満たす整数nに対して」は、一度無視して
n-1回目中 k-1回が表であり、n回目が表である確率は
(n-1)Ｃ(k-1)*(1/2)^(k-1)*(1/2)^(n-k)* (1/2)

裏の場合についても、同様となるから
P[n]＝ (n-1)Ｃ(k-1)*(1/2)^(k-1)*(1/2)^(n-k)＝ (n-1)Ｃ(k-1)*(1/2)^(n-1)

・表 or 裏が k回でるためには、少なくとも k回の試行が必要。⇒ k≦ n
・2k-1回の試行をおこなえば、表 or 裏のどちらかが必ず k回以上になる。
　2k-1回までおこなったとしても、表：裏＝ k：(k-1) または 表：裏＝ (k-1)：kで決着する。
　※試しに一度、上で求めた Pnに n＝ 2k-1を入れて計算してみてください。

つまり、「k≦n≦2k―1 を満たす整数nに対して」とは必ず決着がつく試行回数をわざわざ書いているだけ。

(2)
「k≦n≦2k-2を満たす整数nに対して」も、一度無視。
P[n+1]＝ nＣ(k-1)*(1/2)^n、P[n]＝ (n-1)Ｃ(k-1)*(1/2)^(n-1)を代入して計算するだけ。

(3)
単調増加から単調減少に転じるところがあれば、そこが最大になる。
(∵P[n]≧ 0であるから)

単調増加⇒ P[n+1]≧ P[n] ⇒ P[n+1]/P[n]≧ 1
単調減少⇒ P[n+1]≦ P[n] ⇒ P[n+1]/P[n]≦ 1

お礼

お世話になります。こちらもご回答ありがとうございます。(1)(2)まで、解説いただいたとおり書きながら実際やってみました。できました。(3)がなぜP[n+1]とP[n]の関係を使うのかわかりません。折角ご説明いただいたのに、能力足らずで申し訳ありません。