ハウスドルフについて

質問

Xをハウスドルフ空間、Yを位相空間とする。
また、X,Yが位相同型であるとすると、Yはハウスドルフ空間であるか？

ということを考えています。（位相同型：f：X→Yが全単射であって、f,f-{-1}が連続となる
fが存在するとき）。よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

その場合YがHausdorffであることを示すのは、難しくないです。というより、XをHausdorff, Yを位相空間として YからXへの全単射連続写像gがあれば、YもまたHausdorffです。

というのは、Y上異なる二点x, yを取ったとき、g(x)≠g(y)なので、XがHausdorffだから、g(x)⊂U, g(y)⊂VかつU∩Y=φなるXの開集合U,Vが取れる。あとはこれをg^{-1}で写せば良い。gが連続であることに注意して、細かい所は考えてください。

お礼

なるほど、理解できました。位相同型である必要もないんですね！
ありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

連続写像の定義を思い出してみます。連続なfでは、値域Ｙの任意の開集合の逆像が、定義域Ｘの開集合になります。f-{-1}があり連続であればf-{-1}でも、値域Ｘの任意の開集合の逆像が、定義域Ｙの開集合になります。しかもf-{-1}があるなら、f，f-{-1}は自動的に全単車です。

　そして位相は開集合によって定義されます。よって位相同型なら、ＸとＹは位相構造に関して実質的に同じもの、という事になります。見通しとしては、こんな感じでしょうか。