y'=(1/tanx)+tanx 微分

質問

y=logtanxの二回微分はどうなるでしょうか？

一回微分するとy'=(1/tanx)+tanx
となるのは分かるのですが二回微分が分かりません。

できれば途中式なども教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.2

info222_

三角関数は公式が沢山あるので、計算結果は1通りの表現だけとは限らず、沢山の三角関数の異なった表現が存在します。

y=log(tan(x))
この関数はlogを自然対数として考えることにすると
対数の真数条件から定義域は tan(x)>0を満たすxの領域となります。
定義域で微分は存在します。
このとき
y'=(tan(x))' /tan(x)=sec^2(x)/tan(x)
公式sec^2(x)=1/cos^2(x)=1+tan^2(x)を使って
=(1+tan^2(x))/tan(x)
=1/tan(x) +tan(x)
=cot(x)+tan(x)
となります。
y'を微分すると、
微分公式 (cot(x))'=-csc^2(x)=-1/sin^2(x), (tan(x))'=sec^2(x)=1/cos^2(x)
を使って
y''=-csc^2(x)+sec^2(x)=-1/sin^2(x) +1/cos^2(x)
通分して2倍角の公式を使えば
=-cos(2x)/(sin(x)cos(x))^2=-4cos(2x)/sin^2(2x)
と表すこともできます。
また、公式csc^2(x)=1+cot^2(x), sec^2(x)=1+tan^2(x)を使えば
y''=tan^2(x)-cot^2(x)=tan^2(x)-1/tan^2(x)
などと表すこともできます。
以上のようにy''の式は色々と別解の表現が存在します。
（いずれのy''の式でも正解です。）

お礼

遅くなりました。申し訳ないです。
回答ありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。

回答No.1

bran111

y=logtanx
dy/dx=(tanx)'/tanx=(1/cos^2x)/tanx=1/sinxcosx=(sinxcosx)^(-1)
d^2y/dx^2=(-1)(sinxcosx)^(-2)(cos^2x-sin^2x)=-(cos^2x-sin^2x)/(sinxcosx)^2
倍角公式
cos2x=cos^2x-sin^2x, sin2x=2sinxcosx
を使うと
dy/dx=2/sin2x
d^2y/dx^2=-4cos2x/(sin2x)^2

お礼

遅くなりました。申し訳ないです。
回答ありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。