対数微分法の問題

質問

y=(tanx)^xを微分せよ。
という対数微分法の問題の計算過程がわかりません。
答えは 2(tanx)^x(x/(cos^2x)+tanx)らしいです。
どなたか詳しく教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>答えは 2(tanx)^x(x/(cos^2x)+tanx)らしいです。
この答えは間違っています。

自然対数を取るので真数条件
y=(tan(x))^x >0,tan(x)>0を満たしていることが前提条件になります。

前提条件のもと両辺の自然対数（ln,log_e)をとると
ln(y)=xln(tan(x))
両辺をxで微分すると
y'/y=x'ln(tan(x))+x*(ln(tan(x)))'
=ln(tan(x))+x*(1/cos^2(x))/tan(x)
y'={(tan(x))^x}{ln(tan(x))+x/((cos^2(x))*tan(x))}

お礼

やはり答えが違いましたか…
何度やっても答えと同じようにならなかったので困っておりました。
詳しく教えていただきありがとうございました。

回答No.2

alice_44

対数微分法なんて受験っぽいギミックは、
大人になったら卒業したほうがよいです。
合成関数の微分に関する基本的な計算練習です。

y = tのs乗 のとき、合成関数の微分法により、
dy/dx = (∂y/∂t)(dt/dx) + (∂y/∂s)(ds/dx)
= s(tのs-1乗)(dt/dx) + (tのs乗)(log s)(ds/dx)
となります。∂y/∂t と ∂y/∂s の計算は、
偏微分さえ知っていれば、高校範囲ですね。
ここで、t = tan x, s = x であれば、
dt/dx = 1/(cos x)の2乗 などを上式に代入して、
dy/dx が求まります。(式の整理は、御自分で。)