y=tan^-1(√2tanx)の微分

質問

y=tan^-1(√2tanx)を微分したものを求めたいのですが、どうすれば良いでしょうか？

計算途中で√2/(cos^2x+2tan^2xcos^2x)
となるのですがここから先がわかりません。(これ自体があってるか分かりませんが...)

2tan^2xcos^2xは2sin^2xになるのでしょうか？(なぜ？)

よろしくお願いします。

回答No.1

bran111

y=tan^-1(√2tanx)
tany=(√2tanx) (1)
両辺をxで微分
左辺＝d(tany)/dx=(dy/dx)(dtany/dy)=(dy/dx)(1/cos^2y)
右辺＝√2dtanx/dx=√2/cos^2x
(1)へ代入
(dy/dx)(1/cos^2y)=√2/cos^2x
dy/dx=√2cos^2y/cos^2x (2)
(1)の両辺を2乗して
tan^2y=2tan^2x
tan^2y=sin^2y/cos^2y=(1-cos^2y)/cos^2y=1/cos^2y-1
よって
1/cos^2y-1=2tan^2x
1/cos^2y=1+2tan^2x
cos^2y=1/(1+2tan^2x)
(2)に代入
dy/dx=√2cos^2y/cos^2x＝√2/[cos^2x(1+2tan^2x)]=√2/[cos^2x+2sin^2x)]
=√2/(1+sin^2x)

.>2tan^2xcos^2xは2sin^2xになるのでしょうか？(なぜ？)
なります。
理由
tanx=sinx/cosx

お礼

遅くなりました。申し訳ないです。
回答ありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。